Не могли бы вы помочь мне решить уравнение 2sin x cos x + 5 cos² x = 4?

Алгебра 11 класс Тригонометрические уравнения уравнение алгебра 11 класс решение уравнения Тригонометрия синус косинус математические задачи Новый

Конечно! Давайте решим уравнение 2sin x cos x + 5 cos² x = 4 шаг за шагом.

1. Перепишем уравнение: У нас есть уравнение с синусом и косинусом. Мы можем использовать тригонометрические идентичности для упрощения. Сначала заметим, что 2sin x cos x можно заменить на sin(2x) по формуле двойного угла:

2sin x cos x = sin(2x)

Таким образом, уравнение можно переписать так:

sin(2x) + 5 cos² x = 4

2. Выразим cos² x через sin² x: Мы знаем, что cos² x = 1 - sin² x. Подставим это в уравнение:

sin(2x) + 5(1 - sin² x) = 4

3. Упростим уравнение:

• sin(2x) + 5 - 5sin² x = 4
• sin(2x) - 5sin² x + 1 = 0

4. Теперь вспомним, что sin(2x) = 2sin x cos x: Подставим это в уравнение:

2sin x cos x - 5sin² x + 1 = 0

5. Теперь выразим cos x через sin x: Используя cos² x = 1 - sin² x, мы можем выразить cos x как sqrt(1 - sin² x). Однако, чтобы избежать сложных корней, давайте попробуем решить уравнение через sin x:

6. Пусть y = sin x: Тогда у нас получится уравнение:

2y * sqrt(1 - y²) - 5y² + 1 = 0

7. Решим это уравнение: Умножим обе стороны на sqrt(1 - y²) (учтите, что это возможно только при y² < 1):

2y(1 - y²) - 5y²sqrt(1 - y²) + sqrt(1 - y²) = 0

8. Решим полученное уравнение: Это может быть сложно, и для дальнейшего упрощения рекомендуется использовать численные методы или графический подход для нахождения корней уравнения.

9. Проверьте корни: После нахождения корней, подставьте их обратно в уравнение, чтобы убедиться, что они удовлетворяют исходному уравнению.

10. Не забудьте проверить периодичность: Поскольку x может принимать значения в пределах периодов синуса и косинуса, необходимо учесть все возможные решения, добавляя 2πk, где k - целое число.

Таким образом, у нас будет несколько решений в зависимости от найденных значений y = sin x.

Если у вас есть вопросы по какому-либо шагу, не стесняйтесь спрашивать!