Не могли бы вы помочь решить уравнение: cosx * cos4x = cos5x?

Алгебра 11 класс Тригонометрические уравнения уравнение косинусов решение уравнения алгебра 11 класс cosx cos4x cos5x тригонометрические уравнения Новый

Конечно, давайте решим уравнение cos(x) * cos(4x) = cos(5x) шаг за шагом.

Первым делом, мы можем использовать одно из тригонометрических тождеств для упрощения уравнения. Напомним, что произведение косинусов можно преобразовать с помощью формулы:

• cos(A) * cos(B) = 0.5 * (cos(A + B) + cos(A - B))

В нашем случае A = x и B = 4x. Применим это тождество:

cos(x) * cos(4x) = 0.5 * (cos(x + 4x) + cos(x - 4x)) = 0.5 * (cos(5x) + cos(-3x))

Так как cos(-θ) = cos(θ), мы можем упростить это выражение:

0.5 * (cos(5x) + cos(3x)) = cos(5x)

Теперь у нас есть уравнение:

0.5 * (cos(5x) + cos(3x)) = cos(5x)

Умножим обе стороны уравнения на 2, чтобы избавиться от дроби:

cos(5x) + cos(3x) = 2 * cos(5x)

Теперь перенесем cos(5x) на левую сторону:

cos(3x) = 2 * cos(5x) - cos(5x)

Таким образом, мы получаем:

cos(3x) = cos(5x)

Теперь у нас есть два случая, когда косинусы равны:

1. 3x = 5x + 2kπ, где k - целое число.
2. 3x = -5x + 2kπ.

Решим первый случай:

3x - 5x = 2kπ

-2x = 2kπ

x = -kπ

Теперь решим второй случай:

3x + 5x = 2kπ

8x = 2kπ

x = (kπ)/4

Таким образом, мы получили два семейства решений:

• x = -kπ, где k - целое число.
• x = (kπ)/4, где k - целое число.

Это и есть общий вид решений для уравнения cos(x) * cos(4x) = cos(5x).