ОЧЕНЬ СРОЧНО

Как можно найти площадь области, ограниченной следующими линиями:

• y = x
• y = 1/x
• y = 0
• x = e

Алгебра 11 класс Интегралы и площади фигур площадь области ограниченные линии алгебра 11 класс y = x y = 1/x y = 0 X = e интегралы графики функций нахождение площади Новый

Чтобы найти площадь области, ограниченной линиями y = x, y = 1/x, y = 0 и x = e, мы можем следовать следующим шагам:

Шаг 1: Определение точек пересечения

Сначала найдем точки пересечения кривых y = x и y = 1/x. Для этого приравняем их:

• x = 1/x
• Умножим обе стороны на x (при условии, что x ≠ 0):
• x^2 = 1
• Таким образом, x = 1 или x = -1.

Поскольку мы рассматриваем область в положительной части координат (где y = 0), нас будет интересовать только x = 1.

Шаг 2: Определение границ интегрирования

Теперь у нас есть следующие границы для интегрирования:

• Нижняя граница: x = 1 (точка пересечения)
• Верхняя граница: x = e (по условию задачи)

Шаг 3: Построение интеграла для площади

Площадь области между кривыми можно найти с помощью определенного интеграла. Мы будем интегрировать разность функций y = 1/x и y = x от x = 1 до x = e:

Шаг 4: Записываем интеграл

Площадь S будет равна:

S = ∫(1/x - x) dx от 1 до e.

Шаг 5: Вычисление интеграла

Теперь найдем интеграл:

• Интеграл от 1/x равен ln|x|.
• Интеграл от x равен (x^2)/2.

Таким образом, мы можем записать:

S = [ln|x| - (x^2)/2] от 1 до e.

Шаг 6: Подставляем границы интегрирования

Теперь подставим верхнюю и нижнюю границы:

• При x = e: S(e) = ln(e) - (e^2)/2 = 1 - (e^2)/2.
• При x = 1: S(1) = ln(1) - (1^2)/2 = 0 - 1/2 = -1/2.

Шаг 7: Вычисляем площадь

Теперь найдем разность:

S = [1 - (e^2)/2] - [-1/2] = 1 - (e^2)/2 + 1/2 = 1.5 - (e^2)/2.

Таким образом, площадь области, ограниченной заданными линиями, равна:

S = 1.5 - (e^2)/2.

Это и есть искомая площадь области. Если у вас есть вопросы по каждому из шагов, пожалуйста, задавайте!