Помогите! Какова длина интервала, который определяет все решения системы неравенств: -1 < 1 - 2x < 2 и (2√3 - 5)(3x - 2) > 0?

Алгебра 11 класс Системы неравенств длина интервала решения системы неравенств алгебра 11 класс неравенства математический анализ Новый

Чтобы найти длину интервала, который определяет все решения данной системы неравенств, начнем с решения каждого из неравенств по отдельности.

1. Решение первого неравенства: -1 < 1 - 2x < 2

Это неравенство можно разбить на два отдельных неравенства:

• -1 < 1 - 2x
• 1 - 2x < 2

Решим первое неравенство:

1. Переносим 1 влево: -1 - 1 < -2x
2. Получаем: -2 < -2x
3. Делим обе стороны на -2 (не забываем поменять знак неравенства): x < 1

Теперь решим второе неравенство:

1. Переносим 1 вправо: -2x < 2 - 1
2. Получаем: -2x < 1
3. Делим обе стороны на -2 (опять меняем знак неравенства): x > -0.5

Таким образом, из первого неравенства мы получили интервал:

-0.5 < x < 1

2. Решение второго неравенства: (2√3 - 5)(3x - 2) > 0

Для решения этого неравенства найдем нули выражения:

• 2√3 - 5 = 0 → 2√3 = 5 → √3 = 5/2 → x = 5/(2√3) (это не влияет на x)
• 3x - 2 = 0 → 3x = 2 → x = 2/3

Теперь мы имеем два критических значения: 2/3 и 5/(2√3). Чтобы определить знаки произведения, рассмотрим интервалы, которые они создают:

• (-∞, 5/(2√3))
• (5/(2√3), 2/3)
• (2/3, +∞)

Теперь проверим знаки в каждом интервале:

1. Для x < 5/(2√3) (например, x = 0): (2√3 - 5)(-2) < 0
2. Для 5/(2√3) < x < 2/3 (например, x = 0.5): (2√3 - 5)(-0.5) > 0
3. Для x > 2/3 (например, x = 1): (2√3 - 5)(1) < 0

Таким образом, решение второго неравенства будет:

5/(2√3) < x < 2/3

3. Объединение решений

Теперь у нас есть два интервала:

• Первый интервал: -0.5 < x < 1
• Второй интервал: 5/(2√3) < x < 2/3

Находим пересечение этих интервалов:

Пересечение будет в пределах 5/(2√3) и 2/3, если 5/(2√3) < 2/3. Теперь найдем значение 5/(2√3):

5/(2√3) = 5/(2 * 1.732) ≈ 1.443 < 0.6667 = 2/3.

Таким образом, пересечение:

5/(2√3) < x < 2/3

Теперь найдем длину этого интервала:

Длина интервала = 2/3 - 5/(2√3).

Теперь подставим числовые значения:

Длина интервала = 0.6667 - 1.443 ≈ 0.6667 - 1.443 = -0.7763 (положительное значение).

Таким образом, длина интервала, который определяет все решения системы неравенств, составляет:

Длина интервала = 2/3 - 5/(2√3)