Давайте исследуем функцию f(x) = x⁴ - 4x³ + 4x² - 1 на монотонность и экстремумы. Для этого нам нужно выполнить несколько шагов.

Производная функции f(x) обозначается как f'(x) и показывает, как изменяется функция f(x) при изменении x. Найдем производную:

• f'(x) = 4x³ - 12x² + 8x.

Критические точки находятся там, где производная равна нулю или не существует. Для нахождения критических точек приравняем производную к нулю:

• 4x³ - 12x² + 8x = 0.

Вынесем общий множитель:

• 4x(x² - 3x + 2) = 0.

Теперь решим уравнение:

• 4x = 0 => x = 0.
• x² - 3x + 2 = 0.

Решим квадратное уравнение:

• x = 1 и x = 2.

Таким образом, критические точки: x = 0, x = 1, x = 2.

Для этого рассмотрим знаки производной на интервалах, определенных критическими точками:

• Интервалы: (-∞, 0), (0, 1), (1, 2), (2, ∞).

Выберем тестовые точки из каждого интервала:

• Для интервала (-∞, 0) возьмем x = -1: f'(-1) = 4(-1)³ - 12(-1)² + 8(-1) = -4 - 12 - 8 = -24 (отрицательное).
• Для интервала (0, 1) возьмем x = 0.5: f'(0.5) = 4(0.5)³ - 12(0.5)² + 8(0.5) = 0.5 - 3 + 4 = 1.5 (положительное).
• Для интервала (1, 2) возьмем x = 1.5: f'(1.5) = 4(1.5)³ - 12(1.5)² + 8(1.5) = 13.5 - 27 + 12 = -1.5 (отрицательное).
• Для интервала (2, ∞) возьмем x = 3: f'(3) = 4(3)³ - 12(3)² + 8(3) = 108 - 108 + 24 = 24 (положительное).

Теперь мы можем сделать выводы о монотонности функции:

• На интервале (-∞, 0) функция убывает.
• На интервале (0, 1) функция возрастает.
• На интервале (1, 2) функция убывает.
• На интервале (2, ∞) функция возрастает.

Теперь определим, какие из критических точек являются минимумами или максимумами:

• В точке x = 0 функция переходит от убывания к возрастанию, значит, это минимум.
• В точке x = 1 функция переходит от возрастания к убыванию, значит, это максимум.
• В точке x = 2 функция переходит от убывания к возрастанию, значит, это минимум.

Теперь найдем значения функции в критических точках:

• f(0) = 0⁴ - 4(0)³ + 4(0)² - 1 = -1.
• f(1) = 1⁴ - 4(1)³ + 4(1)² - 1 = 1 - 4 + 4 - 1 = 0.
• f(2) = 2⁴ - 4(2)³ + 4(2)² - 1 = 16 - 32 + 16 - 1 = -1.

Функция имеет:

• Минимум в точке (0, -1).
• Максимум в точке (1, 0).
• Минимум в точке (2, -1).

Таким образом, мы исследовали функцию на монотонность и экстремумы.