Помогите, очень нужно срочно! Заранее спасибо! Как доказать тождество: 1) (sin 5 альфа - sin 3 альфа) / (2 cos 4 альфа) = sin альфа 2) 3 cos 2 альфа + sin^2 альфа - cos^2 альфа = 2 cos 2 альфа?

Алгебра 11 класс Тригонометрические тождества доказать тождество алгебра 11 класс тригонометрические функции синус и косинус математические уравнения тождества в алгебре решение задач по алгебре Новый

Давайте разберем оба тождества по порядку.

Тождество 1: (sin 5 альфа - sin 3 альфа) / (2 cos 4 альфа) = sin альфа

Для начала воспользуемся формулой разности синусов:

sin A - sin B = 2 cos((A + B)/2) * sin((A - B)/2).

• Пусть A = 5 альфа, B = 3 альфа.
• Тогда A + B = 8 альфа, A - B = 2 альфа.

Теперь подставим это в выражение:

sin 5 альфа - sin 3 альфа = 2 cos(8 альфа / 2) * sin(2 альфа / 2) = 2 cos(4 альфа) * sin(альфа).

Теперь подставим это в исходное выражение:

(sin 5 альфа - sin 3 альфа) / (2 cos 4 альфа) = (2 cos(4 альфа) * sin(альфа)) / (2 cos(4 альфа)) = sin альфа.

Таким образом, первое тождество доказано.

Тождество 2: 3 cos 2 альфа + sin^2 альфа - cos^2 альфа = 2 cos 2 альфа

Во-первых, вспомним, что sin^2 альфа + cos^2 альфа = 1. Из этого уравнения мы можем выразить sin^2 альфа:

sin^2 альфа = 1 - cos^2 альфа.

Теперь подставим это в наше тождество:

3 cos 2 альфа + (1 - cos^2 альфа) - cos^2 альфа = 2 cos 2 альфа.

Упростим левую часть:

• 3 cos 2 альфа + 1 - 2 cos^2 альфа = 2 cos 2 альфа.

Теперь перенесем 2 cos 2 альфа в левую часть:

3 cos 2 альфа - 2 cos 2 альфа + 1 - 2 cos^2 альфа = 0.

Это упрощается до:

cos 2 альфа + 1 - 2 cos^2 альфа = 0.

Теперь заметим, что 1 - 2 cos^2 альфа = -sin^2 альфа (по формуле sin^2 альфа + cos^2 альфа = 1):

cos 2 альфа - sin^2 альфа = 0.

Таким образом, мы можем выразить cos 2 альфа как sin^2 альфа:

cos 2 альфа = sin^2 альфа.

Это равенство верно, поскольку cos 2 альфа = 1 - 2 sin^2 альфа, и это подтверждает, что второе тождество также доказано.

В итоге оба тождества доказаны!