Помогите, пожалуйста

Исследовать функцию

• y = 2cosx + x + x, если 0 <= x <= П
• y = x^3 + x + 2, если x < 0

На монотонность и точки экстремума?

Алгебра 11 класс Исследование функций алгебра 11 класс исследование функции монотонность функции точки экстремума cos функция кубическая функция анализ функций график функции производная функции область определения функции Новый

Давайте исследуем функцию y = 2cos(x) + x + x, которая может быть упрощена до y = 2cos(x) + 2x. Мы будем исследовать ее на заданном интервале (0, ∞).

Шаг 1: Найдем производную функции.

• Производная функции y по x: y' = -2sin(x) + 2.

Шаг 2: Найдем критические точки, приравняв производную к нулю:

• -2sin(x) + 2 = 0
• Отсюда sin(x) = 1.
• Решения этого уравнения: x = π/2 + 2kπ, где k - целое число.

Шаг 3: Изучим поведение функции на интервале (0, ∞):

• На интервале (0, π/2) функция sin(x) возрастает, следовательно, y' будет положительным, и функция y возрастает.
• На интервале (π/2, 3π/2) функция sin(x) убывает, следовательно, y' станет отрицательным, и функция y убывает.
• На интервале (3π/2, 5π/2) функция sin(x) снова возрастает, и y' будет положительным, функция y снова возрастает.

Шаг 4: Исследуем поведение функции на границах интервала:

• При x → 0: y(0) = 2cos(0) + 2*0 = 2.
• При x → ∞: y(∞) = 2cos(∞) + 2*∞. Поскольку 2cos(∞) колеблется между -2 и 2, а 2x стремится к бесконечности, то y → ∞.

Шаг 5: Определим экстремумы:

• В точке x = π/2 - максимум, так как функция переходит из возрастающей в убывающую.
• В точке x = 3π/2 - минимум, так как функция переходит из убывающей в возрастающую.

Шаг 6: Построим график функции:

• График будет иметь максимум в точке (π/2, y(π/2)) и минимум в точке (3π/2, y(3π/2)).

Таким образом, мы исследовали функцию y = 2cos(x) + 2x на интервале (0, ∞), определили ее поведение, критические точки и экстремумы. Если у вас есть дополнительные вопросы, не стесняйтесь спрашивать!