Помогите пожалуйста!!!!

Как можно определить точку минимума функции

y=(19-x) e^(19-x)?

Алгебра 11 класс Оптимизация функций точка минимума функции определение минимума y=(19-x)e^(19-x) алгебра 11 класс нахождение минимума функции Новый

Чтобы определить точку минимума функции y = (19 - x) e^(19 - x), нам нужно выполнить несколько шагов, связанных с нахождением производной и анализом ее знаков. Давайте разберем этот процесс поэтапно.

1. Найти производную функции y.

   Для начала, нам нужно найти производную функции y. Мы будем использовать правило произведения, так как функция состоит из двух множителей: (19 - x) и e^(19 - x).

   Обозначим:

   • u = 19 - x
   • v = e^(19 - x)

   Тогда производная y будет равна:

   y' = u'v + uv'

   Сначала найдем производные u и v:

   • u' = -1
   • v' = e^(19 - x) * (-1) = -e^(19 - x)

   Теперь подставим производные в формулу:

   y' = (-1)e^(19 - x) + (19 - x)(-e^(19 - x))

   y' = -e^(19 - x) - (19 - x)e^(19 - x)

   y' = -e^(19 - x)(1 + (19 - x))

   y' = -e^(19 - x)(20 - x)

2. Найти критические точки.

   Критические точки находятся там, где производная равна нулю или не существует. В нашем случае:

   -e^(19 - x)(20 - x) = 0

   Так как e^(19 - x) никогда не равно нулю, мы можем приравнять к нулю только второй множитель:

   20 - x = 0

   Отсюда находим x = 20.

3. Определить характер критической точки.

   Теперь нужно понять, является ли эта точка минимумом или максимумом. Для этого мы можем использовать второй производный тест или анализ знаков первой производной.

   Посмотрим на знак производной y' в окрестности точки x = 20:

   • Для x < 20, например x = 19: y' = -e^(19 - 19)(20 - 19) = -1 < 0 (производная отрицательна)
   • Для x > 20, например x = 21: y' = -e^(19 - 21)(20 - 21) = e^(-2)(-1) > 0 (производная положительна)

   Таким образом, мы видим, что производная меняет знак с отрицательного на положительный, что указывает на то, что в точке x = 20 находится минимум.

4. Подвести итог.

   Точка минимума функции y = (19 - x)e^(19 - x) находится в x = 20.

Если у вас остались вопросы или вам нужна дополнительная помощь, не стесняйтесь спрашивать!