Помогите, пожалуйста: как можно решить уравнение 1 + cos(8x) = 2cos(4x>?

Алгебра 11 класс Тригонометрические уравнения решение уравнения алгебра 11 класс cos 8x cos 4x тригонометрические уравнения Новый

Для решения уравнения 1 + cos(8x) = 2cos(4x) мы можем использовать некоторые тригонометрические преобразования и свойства косинуса. Давайте разберем это шаг за шагом.

Шаг 1: Перепишем уравнение

Исходное уравнение выглядит так:

1 + cos(8x) = 2cos(4x)

Мы можем сначала перенести все члены на одну сторону:

cos(8x) - 2cos(4x) + 1 = 0

Шаг 2: Используем формулы двойного угла

Заметим, что cos(8x) можно выразить через cos(4x) с помощью формулы двойного угла:

cos(2a) = 2cos^2(a) - 1

Таким образом, для cos(8x) мы можем записать:

cos(8x) = cos(2 * 4x) = 2cos^2(4x) - 1

Шаг 3: Подставляем в уравнение

Теперь подставим это выражение в наше уравнение:

(2cos^2(4x) - 1) - 2cos(4x) + 1 = 0

Упрощаем:

2cos^2(4x) - 2cos(4x) = 0

Шаг 4: Вынесем общий множитель

Вынесем 2cos(4x) за скобки:

2cos(4x)(cos(4x) - 1) = 0

Шаг 5: Решаем полученные уравнения

Теперь у нас есть два множителя, которые могут быть равны нулю:

• 2cos(4x) = 0
• cos(4x) - 1 = 0

Шаг 6: Решаем первое уравнение

Решим первое уравнение:

cos(4x) = 0

Это происходит, когда 4x = (2n + 1) * π/2, где n - целое число.

Отсюда:

x = (2n + 1) * π/8

Шаг 7: Решаем второе уравнение

Теперь решим второе уравнение:

cos(4x) = 1

Это происходит, когда 4x = 2kπ, где k - целое число.

Отсюда:

x = kπ/2

Шаг 8: Записываем общее решение

Таким образом, общее решение нашего уравнения будет:

• x = (2n + 1) * π/8, n ∈ Z
• x = kπ/2, k ∈ Z

Эти два множества решений представляют все возможные значения x, удовлетворяющие исходному уравнению. Если у вас есть дополнительные вопросы или нужно больше пояснений, не стесняйтесь спрашивать!