Чтобы решить уравнение tg(x) - 12ctg(x) + 1 = 0, давайте сначала вспомним, что ctg(x) = 1/tg(x). Это позволит нам переписать уравнение в более удобной форме.

Подставим ctg(x) в уравнение:

tg(x) - 12(1/tg(x)) + 1 = 0

Умножим всё уравнение на tg(x), чтобы избавиться от дроби (при условии, что tg(x) не равен 0):

• tg^2(x) - 12 + tg(x) = 0

Теперь мы имеем квадратное уравнение относительно tg(x). Запишем его в стандартной форме:

• tg^2(x) + tg(x) - 12 = 0

Теперь применим формулу для решения квадратного уравнения ax^2 + bx + c = 0, где a = 1, b = 1, c = -12. Формула выглядит так:

x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / 2a

Подставим наши значения:

• b^2 - 4ac = 1^2 - 4 * 1 * (-12) = 1 + 48 = 49
• √(49) = 7

Теперь подставим в формулу для нахождения корней:

• tg(x) = (-1 ± 7) / 2

Теперь найдем два корня:

• tg(x) = (6) / 2 = 3
• tg(x) = (-8) / 2 = -4

Теперь у нас есть два значения для tg(x): 3 и -4. Теперь найдем углы x, для которых эти значения верны.

1. Для tg(x) = 3:

• x = arctg(3) + kπ, где k ∈ Z (целое число).

2. Для tg(x) = -4:

• x = arctg(-4) + kπ, где k ∈ Z (целое число).

Таким образом, общее решение уравнения tg(x) - 12ctg(x) + 1 = 0 будет:

• x = arctg(3) + kπ
• x = arctg(-4) + kπ

На этом решение уравнения завершено!