Помогите, пожалуйста, найти корни следующих уравнений:

1. 2sin3xcosx + 2cos3xsinx = √3
2. cos2x + cos6x = cos8x + cos4x

Алгебра 11 класс Тригонометрические уравнения корни уравнений алгебра 11 класс тригонометрические уравнения решение уравнений синусы и косинусы Новый

Давайте решим оба уравнения поочередно.

Первое уравнение: 2sin(3x)cos(x) + 2cos(3x)sin(x) = √3

Для начала, заметим, что левая часть уравнения можно упростить, используя формулу синуса суммы:

sin(A + B) = sin(A)cos(B) + cos(A)sin(B)

В нашем случае A = 3x и B = x. Таким образом, мы можем переписать уравнение:

• 2sin(3x + x) = √3
• 2sin(4x) = √3

Теперь делим обе стороны на 2:

• sin(4x) = √3/2

Теперь найдем значения 4x, при которых синус равен √3/2. Это происходит в следующих случаях:

• 4x = π/3 + 2kπ, где k — любое целое число
• 4x = 2π/3 + 2kπ

Теперь делим каждое уравнение на 4, чтобы найти x:

• x = π/12 + kπ/2
• x = π/6 + kπ/2

Таким образом, корни первого уравнения:

• x = π/12 + kπ/2
• x = π/6 + kπ/2

Второе уравнение: cos(2x) + cos(6x) = cos(8x) + cos(4x)

Сначала применим формулу суммы косинусов:

• cos(A) + cos(B) = 2cos((A + B)/2)cos((A - B)/2)

Применим это к обеим сторонам уравнения:

• cos(2x) + cos(6x) = 2cos(4x)cos(2x)
• cos(8x) + cos(4x) = 2cos(6x)cos(x)

Теперь у нас есть:

• 2cos(4x)cos(2x) = 2cos(6x)cos(x)

Можно разделить обе стороны на 2 (при условии, что cos(4x) и cos(6x) не равны нулю):

• cos(4x)cos(2x) = cos(6x)cos(x)

Теперь давайте рассмотрим два случая: когда одна из косинусных функций равна нулю и когда они не равны нулю.

Случай 1: cos(4x) = 0

• 4x = (2n + 1)π/2, где n — любое целое число
• x = (2n + 1)π/8

Случай 2: cos(6x) = 0

• 6x = (2m + 1)π/2, где m — любое целое число
• x = (2m + 1)π/12

Случай 3: Если cos(4x) и cos(6x) не равны нулю, то мы можем решить уравнение:

• cos(4x)cos(2x) - cos(6x)cos(x) = 0

Это более сложное уравнение, и его решение может потребовать дополнительных методов, таких как подстановка или численный расчет.

Таким образом, мы нашли корни обоих уравнений:

• Первое уравнение: x = π/12 + kπ/2 и x = π/6 + kπ/2
• Второе уравнение: x = (2n + 1)π/8 и x = (2m + 1)π/12, а также возможные решения из последнего случая.