Помогите, пожалуйста! Не могу решить именно эти уравнения:

1. cos(2x) - sin(x) = 0 на [0, 5π/2]
2. 2sin²(x) + 3cos(x) - 3 = 0 на [4π, 5π]

Алгебра 11 класс Тригонометрические уравнения уравнения алгебры решение уравнений cos(2x) - sin(x) 2sin²(x) + 3cos(x) алгебра 11 класс решение тригонометрических уравнений уравнения на интервале Новый

Давайте поочередно решим оба уравнения. Начнем с первого уравнения:

1. Уравнение: cos(2x) - sin(x) = 0

Первый шаг - используем тригонометрические тождества. Мы знаем, что cos(2x) можно выразить через sin(x):

• cos(2x) = 1 - 2sin²(x)

Подставим это в уравнение:

1 - 2sin²(x) - sin(x) = 0

Перепишем уравнение:

2sin²(x) + sin(x) - 1 = 0

Теперь у нас есть квадратное уравнение относительно sin(x). Используем формулу для решения квадратного уравнения ax² + bx + c = 0:

• a = 2
• b = 1
• c = -1

Находим дискриминант:

D = b² - 4ac = 1² - 4 * 2 * (-1) = 1 + 8 = 9

Теперь находим корни:

• sin(x) = (-b ± √D) / (2a)

Подставляем значения:

• sin(x) = (-1 ± 3) / 4

Находим два корня:

• sin(x) = 1/2
• sin(x) = -1

Теперь найдем значения x для каждого случая в пределах [0, 5π/2].

• Для sin(x) = 1/2: x = π/6 + 2kπ и x = 5π/6 + 2kπ, где k - целое число.
• Для sin(x) = -1: x = 3π/2 + 2kπ.

Теперь подставим значения k, чтобы найти все решения в заданном интервале [0, 5π/2]:

• Для sin(x) = 1/2: x = π/6 (k=0), 5π/6 (k=0), 13π/6 (k=1).
• Для sin(x) = -1: x = 3π/2 (k=0).

Таким образом, решения для первого уравнения:

• x = π/6
• x = 5π/6
• x = 3π/2
• x = 13π/6

Теперь перейдем ко второму уравнению:

2. Уравнение: 2sin²(x) + 3cos(x) - 3 = 0

Для этого уравнения мы можем выразить sin²(x) через cos(x):

• sin²(x) = 1 - cos²(x)

Подставим в уравнение:

2(1 - cos²(x)) + 3cos(x) - 3 = 0

Раскроем скобки:

2 - 2cos²(x) + 3cos(x) - 3 = 0

Упрощаем:

-2cos²(x) + 3cos(x) - 1 = 0

Умножим на -1:

2cos²(x) - 3cos(x) + 1 = 0

Теперь решим это квадратное уравнение:

• a = 2
• b = -3
• c = 1

Находим дискриминант:

D = (-3)² - 4 * 2 * 1 = 9 - 8 = 1

Теперь находим корни:

• cos(x) = (3 ± √1) / 4

Получаем два корня:

• cos(x) = 1
• cos(x) = 1/2

Теперь найдем значения x для каждого случая в пределах [4π, 5π]:

• Для cos(x) = 1: x = 2kπ, где k - целое число. В нашем случае k = 2, x = 4π.
• Для cos(x) = 1/2: x = π/3 + 2kπ и x = 5π/3 + 2kπ. Подставляем k = 1: x = 7π/3 и x = 11π/3. Но 11π/3 выходит за пределы [4π, 5π].

Таким образом, решения для второго уравнения:

• x = 4π
• x = 7π/3

Итак, подводя итог, решения для обоих уравнений:

• Первое уравнение: x = π/6, 5π/6, 3π/2, 13π/6
• Второе уравнение: x = 4π, 7π/3