Помогите, пожалуйста, не знаю, как решить уравнение с cos4x:

cos2x + cos4x - sin2x = 0

Алгебра 11 класс Тригонометрические уравнения уравнение с cos4x решение уравнения алгебра 11 класс тригонометрические функции cos2x sin2x математическая помощь алгебраические задачи Новый

Давайте решим уравнение cos2x + cos4x - sin2x = 0 шаг за шагом.

1. Начнем с упрощения уравнения. Мы знаем, что sin2x можно выразить через cos2x с помощью тригонометрической тождества:

• sin2x = 1 - cos2x (по формуле sin^2x + cos^2x = 1).

2. Подставим это выражение в уравнение:

• cos2x + cos4x - (1 - cos2x) = 0.

3. Упростим уравнение:

• cos2x + cos4x - 1 + cos2x = 0
• 2cos2x + cos4x - 1 = 0.

4. Теперь мы можем выразить cos4x через cos2x. Используем формулу двойного угла:

• cos4x = 2cos^2(2x) - 1.

5. Подставим это в уравнение:

• 2cos2x + (2cos^2(2x) - 1) - 1 = 0.

6. Упростим уравнение:

• 2cos2x + 2cos^2(2x) - 2 = 0.
• 2(cos^2(2x) + cos2x - 1) = 0.

7. Теперь у нас есть два возможных решения:

• cos^2(2x) + cos2x - 1 = 0.

8. Это уравнение является квадратным относительно cos2x. Обозначим y = cos2x, тогда уравнение примет вид:

• y^2 + y - 1 = 0.

9. Решим это квадратное уравнение с помощью формулы:

• y = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / 2a, где a=1, b=1, c=-1.

10. Подставим значения:

• y = (-1 ± √(1^2 - 4*1*(-1))) / (2*1)
• y = (-1 ± √(1 + 4)) / 2
• y = (-1 ± √5) / 2.

11. Теперь у нас есть два значения для cos2x:

• y1 = (-1 + √5) / 2
• y2 = (-1 - √5) / 2.

12. Поскольку cos2x должен находиться в диапазоне от -1 до 1, проверим, какое из значений допустимо:

• y1 = (-1 + √5) / 2 ≈ 0.618 (приемлемо)
• y2 = (-1 - √5) / 2 < -1 (неприемлемо).

13. Теперь решаем уравнение для cos2x = (-1 + √5) / 2:

• 2x = arccos((-1 + √5) / 2) + 2kπ или 2x = -arccos((-1 + √5) / 2) + 2kπ, где k - целое число.

14. Разделим на 2, чтобы найти x:

• x = (1/2)arccos((-1 + √5) / 2) + kπ
• x = (-1/2)arccos((-1 + √5) / 2) + kπ.

15. Таким образом, мы нашли общее решение уравнения. Не забудьте, что arccos может быть определено в разных квадрантах, поэтому учитывайте все возможные значения.

Если у вас остались вопросы, не стесняйтесь спрашивать!