Помогите, пожалуйста, разобраться с решением уравнения: cos 2x - cos 4x = sin 6x.

Алгебра 11 класс Тригонометрические уравнения алгебра 11 класс решение уравнения cos 2x cos 4x sin 6x тригонометрические уравнения математическая помощь Новый

Давайте разберемся с уравнением cos 2x - cos 4x = sin 6x. Для начала мы можем использовать некоторые тригонометрические преобразования, чтобы упростить уравнение.

1. Воспользуемся формулой разности косинусов:

• cos A - cos B = -2 sin((A + B)/2) sin((A - B)/2).

В нашем случае A = 4x и B = 2x. Подставим их в формулу:

• cos 2x - cos 4x = -2 sin((4x + 2x)/2) sin((4x - 2x)/2)
• cos 2x - cos 4x = -2 sin(3x) sin(x).

2. Теперь подставим это в наше уравнение:

• -2 sin(3x) sin(x) = sin(6x).

3. Обратите внимание, что sin(6x) можно выразить через синусы и косинусы. Однако мы можем решить уравнение, приравняв обе стороны к нулю:

• -2 sin(3x) sin(x) - sin(6x) = 0.

4. Это уравнение можно решить, если мы выделим общий множитель:

• sin(x) (-2 sin(3x) - sin(6x)) = 0.

5. Теперь мы можем рассмотреть два случая:

Случай 1:

• sin(x) = 0.
• Это дает нам x = kπ, где k - целое число.

Случай 2:

• -2 sin(3x) - sin(6x) = 0.
• Переписываем это уравнение:
• sin(6x) = -2 sin(3x).

6. Используем формулу для sin(6x): sin(6x) = 2 sin(3x) cos(3x), и подставляем в уравнение:

• 2 sin(3x) cos(3x) = -2 sin(3x).

7. Если sin(3x) ≠ 0, можем разделить обе стороны на sin(3x):

• 2 cos(3x) = -2.
• cos(3x) = -1.

8. Решаем уравнение cos(3x) = -1:

• 3x = (2n + 1)π, где n - целое число.
• x = (2n + 1)π/3.

9. В итоге, мы получили два типа решений:

• x = kπ, где k - целое число,
• x = (2n + 1)π/3, где n - целое число.

Таким образом, все возможные решения уравнения cos 2x - cos 4x = sin 6x описываются вышеуказанными формулами.