Помогите, пожалуйста, решить.

Как определить точку максимума функции y = ln(x+13) - 2x + 7?

Алгебра 11 класс Оптимизация функций алгебра 11 класс точка максимума функция ln(x+13) решение задачи производная экстремум функции анализ функции Новый

Чтобы определить точку максимума функции y = ln(x+13) - 2x + 7, следуем следующим шагам:

1. Найдем производную функции. Производная функции поможет нам найти критические точки, где функция может иметь максимум или минимум. Для функции y = ln(x+13) - 2x + 7 производная будет следующей:
• Производная от ln(x+13) равна 1/(x+13).
• Производная от -2x равна -2.
• Производная от константы 7 равна 0.
• Таким образом, производная функции y' = 1/(x+13) - 2.
2. Найдем критические точки. Для этого приравняем производную к нулю:
• 1/(x+13) - 2 = 0.
• 1/(x+13) = 2.
• 1 = 2(x+13).
• 1 = 2x + 26.
• 2x = 1 - 26.
• 2x = -25.
• x = -25/2.
3. Определим, является ли эта точка максимумом или минимумом. Для этого найдем вторую производную функции:
• Первая производная: y' = 1/(x+13) - 2.
• Вторая производная: y'' = -1/(x+13)^2.
4. Теперь подставим найденное значение x = -25/2 в вторую производную:
• y''(-25/2) = -1/((-25/2)+13)^2.
• Считаем: -25/2 + 13 = -25/2 + 26/2 = 1/2.
• Тогда y''(-25/2) = -1/(1/2)^2 = -1/(1/4) = -4.
5. Поскольку вторая производная отрицательна, это означает, что функция имеет максимум в точке x = -25/2.
6. Найдем значение функции в этой точке. Подставим x = -25/2 в исходную функцию:
• y = ln(-25/2 + 13) - 2(-25/2) + 7.
• Считаем: -25/2 + 13 = 1/2, поэтому y = ln(1/2) + 25 + 7 = ln(1/2) + 32.

Таким образом, точка максимума функции y = ln(x+13) - 2x + 7 находится в x = -25/2, а значение функции в этой точке равно ln(1/2) + 32.