Помогите, пожалуйста, решить уравнение:

sin^4 (x) + cos^4 (x) = sin^2(2x) - 1/2

Алгебра 11 класс Тригонометрические уравнения алгебра 11 класс решение уравнения тригонометрические функции sin и cos sin^4 x cos^4 x sin^2 2x математические задачи Новый

Давайте решим уравнение: sin^4(x) + cos^4(x) = sin^2(2x) - 1/2.

Для начала, упростим левую часть уравнения. Мы знаем, что:

• sin^4(x) + cos^4(x) можно представить как (sin^2(x) + cos^2(x))^2 - 2sin^2(x)cos^2(x).
• Поскольку sin^2(x) + cos^2(x) = 1, то:

sin^4(x) + cos^4(x) = 1 - 2sin^2(x)cos^2(x).

Теперь у нас есть:

1 - 2sin^2(x)cos^2(x) = sin^2(2x) - 1/2.

Далее, воспользуемся формулой для синуса двойного угла:

• sin(2x) = 2sin(x)cos(x),
• поэтому sin^2(2x) = (2sin(x)cos(x))^2 = 4sin^2(x)cos^2(x).

Теперь подставим это в уравнение:

1 - 2sin^2(x)cos^2(x) = 4sin^2(x)cos^2(x) - 1/2.

Упростим это уравнение. Переносим все члены на одну сторону:

1 + 1/2 = 4sin^2(x)cos^2(x) + 2sin^2(x)cos^2(x).

Это дает:

3/2 = 6sin^2(x)cos^2(x).

Теперь умножим обе стороны на 2:

3 = 12sin^2(x)cos^2(x).

Разделим обе стороны на 12:

1/4 = sin^2(x)cos^2(x).

Используем формулу:

sin^2(x)cos^2(x) = (1/2)sin^2(2x).

Тогда у нас получается:

1/4 = (1/2)sin^2(2x).

Умножим обе стороны на 2:

1/2 = sin^2(2x).

Теперь извлечем корень из обеих сторон:

sin(2x) = ±√(1/2) = ±1/√2 = ±√2/2.

Теперь решим это уравнение:

2x = arcsin(√2/2) + kπ, где k - целое число, или 2x = arcsin(-√2/2) + kπ.

Решая первое уравнение:

• 2x = π/4 + kπ,
• x = π/8 + kπ/2.

Решая второе уравнение:

• 2x = -π/4 + kπ,
• x = -π/8 + kπ/2.

Таким образом, общее решение уравнения:

x = π/8 + kπ/2 и x = -π/8 + kπ/2, где k - целое число.