Помогите пожалуйста !!

Срочно надо!!

Как можно упростить следующее выражение: sin^2 2 альфа (tg^2 альфа + ctg^2 альфа + 2)?

Алгебра 11 класс Упрощение тригонометрических выражений алгебра 11 класс Упрощение выражения sin^2 2 альфа tg^2 альфа ctg^2 альфа математическая помощь Новый

Давайте упростим данное выражение шаг за шагом. У нас есть выражение:

sin^2(2α) * (tg^2(α) + ctg^2(α) + 2)

1. Начнем с упрощения части, содержащей тангенс и котангенс. Мы знаем, что:

• tg(α) = sin(α) / cos(α)
• ctg(α) = cos(α) / sin(α)

2. Теперь найдем tg^2(α) и ctg^2(α):

• tg^2(α) = sin^2(α) / cos^2(α)
• ctg^2(α) = cos^2(α) / sin^2(α)

3. Подставим эти выражения в исходное:

sin^2(2α) * (sin^2(α)/cos^2(α) + cos^2(α)/sin^2(α) + 2)

4. Объединим tg^2(α) и ctg^2(α):

Обозначим x = sin^2(α) и y = cos^2(α). Тогда x + y = 1. Мы можем переписать:

tg^2(α) + ctg^2(α) = x/y + y/x

5. Применим формулу для суммы дробей:

tg^2(α) + ctg^2(α) = (x^2 + y^2) / (xy)

6. Используя тождество x + y = 1, мы можем выразить x^2 + y^2:

x^2 + y^2 = (x + y)^2 - 2xy = 1 - 2xy

7. Теперь подставим это обратно:

tg^2(α) + ctg^2(α) = (1 - 2xy) / (xy)

8. Подставим это в наше выражение:

sin^2(2α) * ((1 - 2xy) / (xy) + 2)

9. Упростим выражение:

sin^2(2α) * ((1 - 2xy + 2xy) / (xy)) = sin^2(2α) * (1 / (xy))

10. Поскольку xy = sin(α)cos(α), то:

1 / (xy) = 1 / (sin(α)cos(α)) = 2 / sin(2α)

11. Подставляем это в наше выражение:

sin^2(2α) * (2 / sin(2α)) = 2sin(2α)

Таким образом, мы упростили данное выражение до:

2sin(2α)

Это и будет нашим окончательным ответом. Если у вас есть еще вопросы, не стесняйтесь задавать!