1. Упрощение выражения (3 * tg^2 (α + 3π) - 1) / (3 - tg^2 (α + 5π/2))

• Сначала вспомним, что тангенс имеет период π. Это означает, что tg(α + 3π) = tg(α) и tg(α + 5π/2) = tg(α + π/2) = -cot(α).
• Теперь подставим эти значения в выражение:
• (3 * tg^2(α) - 1) / (3 - (-cot^2(α))) = (3 * tg^2(α) - 1) / (3 + cot^2(α)).
• Поскольку cot(α) = 1/tg(α), можно выразить cot^2(α) как 1/tg^2(α): cot^2(α) = 1/tg^2(α).
• Таким образом, выражение становится:
• (3 * tg^2(α) - 1) / (3 + 1/tg^2(α)).
• Теперь умножим числитель и знаменатель на tg^2(α), чтобы избавиться от дроби в знаменателе:
• (tg^2(α) * (3 * tg^2(α) - 1)) / (3 * tg^2(α) + 1).
• Это выражение можно оставить в таком виде, так как оно уже упрощено.

2. Упрощение выражения (tg 2α + tg 3α) / (1 - tg 2α * tg 3α)

• Здесь мы можем использовать формулу тангенса суммы: tg(A + B) = (tg A + tg B) / (1 - tg A * tg B).
• В нашем случае A = 2α и B = 3α. Таким образом, tg(2α + 3α) = tg(5α).
• Следовательно, выражение упрощается до:
• tg(5α).

3. Упрощение выражения cos 2α / (sin α - cos α)

• Мы можем использовать формулу для косинуса двойного угла: cos(2α) = cos^2(α) - sin^2(α).
• Теперь подставим эту формулу в выражение:
• (cos^2(α) - sin^2(α)) / (sin α - cos α).
• Здесь можно заметить, что (sin α - cos α) можно выразить как -(cos α - sin α).
• Таким образом, выражение становится:
• -(cos^2(α) - sin^2(α)) / (cos α - sin α).
• Теперь мы можем заметить, что (cos^2(α) - sin^2(α)) = (cos α + sin α)(cos α - sin α), и подставить это в выражение:
• -(cos α + sin α)(cos α - sin α) / (cos α - sin α).
• После сокращения (cos α - sin α) в числителе и знаменателе, получаем:
• -(cos α + sin α).
• Это и будет упрощенное выражение.

Итак, итоговые упрощенные выражения:

• 1. (3 * tg^2(α) - 1) / (3 + cot^2(α))
• 2. tg(5α)
• 3. -(cos α + sin α)