Помогите, пожалуйста, упростить выражение cosα + cos2α + cos3α + cos4α =...

Алгебра 11 класс Упрощение тригонометрических выражений упростить выражение алгебра 11 класс Тригонометрия cosα cos2α cos3α cos4α Новый

Для упрощения выражения cosα + cos2α + cos3α + cos4α мы можем воспользоваться формулами для суммы косинусов. Давайте рассмотрим, как упростить это выражение шаг за шагом.

1. **Используем формулу суммы косинусов**: Сумма косинусов может быть представлена через произведение. В частности, для двух косинусов мы можем использовать формулу:

• cos A + cos B = 2 * cos((A + B)/2) * cos((A - B)/2)

2. **Разделим выражение на пары**: Мы можем сгруппировать наши косинусы в пары. Например:

• (cosα + cos4α) + (cos2α + cos3α)

3. **Применим формулу для каждой пары**:

• Для первой пары: A = α, B = 4α
• cosα + cos4α = 2 * cos((α + 4α)/2) * cos((α - 4α)/2) = 2 * cos(5α/2) * cos(-3α/2) = 2 * cos(5α/2) * cos(3α/2)

• Для второй пары: A = 2α, B = 3α
• cos2α + cos3α = 2 * cos((2α + 3α)/2) * cos((2α - 3α)/2) = 2 * cos(5α/2) * cos(-α/2) = 2 * cos(5α/2) * cos(α/2)

4. **Соберем все вместе**: Теперь у нас есть два выражения, которые мы можем сложить:

• cosα + cos4α + cos2α + cos3α = 2 * cos(5α/2) * cos(3α/2) + 2 * cos(5α/2) * cos(α/2)

5. **Вынесем общий множитель**: Теперь можно вынести общий множитель 2 * cos(5α/2):

• 2 * cos(5α/2) * (cos(3α/2) + cos(α/2))

Таким образом, мы упростили выражение cosα + cos2α + cos3α + cos4α до:

2 cos(5α/2) (cos(3α/2) + cos(α/2))

Это и будет нашим окончательным ответом. Если у вас есть дополнительные вопросы, не стесняйтесь спрашивать!