Похожие вопросы
2025-08-30 09:46:45
Помогите решить неравенство: cos^2x - sin^2x > 1/2
Алгебра 11 класс Неравенства тригонометрических функций неравенство алгебра 11 класс cos^2x sin^2x решение неравенств тригонометрические функции математика учебник алгебры задачи по алгебре подготовка к экзамену
2025-08-30 09:46:54
Для решения неравенства cos²x - sin²x > 1/2 начнем с преобразования левой части неравенства. Мы можем воспользоваться тригонометрической тождественностью:
- cos²x - sin²x = cos(2x).
Таким образом, мы можем переписать неравенство:
cos(2x) > 1/2.
Теперь мы должны решить неравенство cos(2x) > 1/2. Для этого вспомним, что косинус принимает значения больше 1/2 в определенных интервалах:
- cos(θ) > 1/2, когда θ находится в интервале (0, π/3) и (5π/3, 2π).
Теперь, подставляя 2x вместо θ, получаем:
- 2x > 0 и 2x < π/3,
- или
- 2x > 5π/3 и 2x < 2π.
Теперь разделим каждую часть на 2:
- 0 < x < π/6,
- или
- 5π/6 < x < π.
Таким образом, решение неравенства cos²x - sin²x > 1/2 можно записать в виде:
x ∈ (0, π/6) ∪ (5π/6, π).
Это и будет искомый ответ. Если нужно учитывать периодичность функции косинуса, то можно добавить 2kπ, где k - любое целое число:
x ∈ (0 + 2kπ, π/6 + 2kπ) ∪ (5π/6 + 2kπ, π + 2kπ), k ∈ Z.