Помогите решить, пожалуйста! Как упростить или решить уравнение 8cos^4a - 4cos2a - cos4a?

Алгебра 11 класс Тригонометрические уравнения упрощение уравнения решение уравнения алгебра 11 класс тригонометрические функции cos^4a cos2a cos4a Новый

Давайте упростим уравнение 8cos^4(a) - 4cos(2a) - cos(4a) шаг за шагом.

Первое, что мы можем сделать, это вспомнить некоторые тригонометрические идентичности. Мы знаем, что:

• cos(2a) = 2cos^2(a) - 1
• cos(4a) = 2cos^2(2a) - 1 = 2(2cos^2(a) - 1)^2 - 1

Давайте сначала упростим cos(4a):

1. Вычислим cos(2a):
• cos(2a) = 2cos^2(a) - 1
2. Теперь подставим cos(2a) в формулу для cos(4a):
• cos(4a) = 2(2cos^2(a) - 1)^2 - 1
3. Раскроем квадрат:
• (2cos^2(a) - 1)^2 = 4cos^4(a) - 4cos^2(a) + 1
4. Теперь подставим это в формулу для cos(4a):
• cos(4a) = 2(4cos^4(a) - 4cos^2(a) + 1) - 1 = 8cos^4(a) - 8cos^2(a) + 2 - 1 = 8cos^4(a) - 8cos^2(a) + 1
5. Таким образом, мы получили:
• cos(4a) = 8cos^4(a) - 8cos^2(a) + 1

Теперь подставим это выражение обратно в исходное уравнение:

8cos^4(a) - 4cos(2a) - cos(4a) = 0

Подставим cos(2a):

8cos^4(a) - 4(2cos^2(a) - 1) - (8cos^4(a) - 8cos^2(a) + 1) = 0

Упрощаем это уравнение:

• 8cos^4(a) - 8cos^4(a) + 8cos^2(a) - 4 + 1 = 0
• 8cos^2(a) - 3 = 0

Теперь решим это уравнение для cos^2(a):

• 8cos^2(a) = 3
• cos^2(a) = 3/8

Теперь мы можем найти cos(a):

• cos(a) = ±√(3/8) = ±√3 / 2√2 = ±√6 / 4

Таким образом, мы получили значения для cos(a). Если вам нужно найти углы a, то используйте арккосинус:

• a = arccos(√6/4) + 2kπ
• a = -arccos(√6/4) + 2kπ
• a = arccos(-√6/4) + 2kπ
• a = -arccos(-√6/4) + 2kπ

где k - любое целое число. Это и есть решение нашего уравнения!