Помогите решить срочно ❗ y=9+8x-x⁴. Исследовать функцию по 8 пунктам и построить график функции:

1. Область определения функции
2. Проверить на чётность и нечётность
3. Найти периодичность функции
4. Найти точки пересечения функции с осями координат
5. Найти промежутки знакопостоянства
6. Вычислить производную
7. Найти значение функции в точках экстремума
8. Построить график функции

Алгебра 11 класс Исследование функций алгебра 11 класс исследование функции график функции область определения четность функции точки пересечения знакопостоянство производная функции Новый

Давайте исследовать функцию y = 9 + 8x - x^4 по указанным пунктам.

1. Область определения функции

Функция y = 9 + 8x - x^4 является многочленом, а многочлены определены для всех значений x. Таким образом, область определения функции:

• Область определения: R (все действительные числа).

2. Проверить на чётность и нечётность

Чтобы проверить чётность или нечётность функции, подставим -x вместо x:

• y(-x) = 9 + 8(-x) - (-x)^4 = 9 - 8x - x^4.
• Мы видим, что y(-x) ≠ y(x) и y(-x) ≠ -y(x), значит, функция не является ни чётной, ни нечётной.

3. Найти периодичность функции

Многочлены не являются периодическими функциями. Поэтому:

• Функция не имеет периодичности.

4. Найти точки пересечения функции с осями координат

Для нахождения точек пересечения с осями:

• С осью Y: Подставим x = 0:
• y(0) = 9 + 8(0) - (0)^4 = 9. Точка: (0, 9).
• С осью X: Найдём корни уравнения 9 + 8x - x^4 = 0. Это уравнение сложно решить аналитически, но можно использовать численные методы или график для нахождения корней.

5. Найти промежутки знакопостоянства

Для этого найдем производную функции:

• y' = 8 - 4x^3.
• Приравняем производную к нулю: 8 - 4x^3 = 0.
• 4x^3 = 8 => x^3 = 2 => x = 2.

Теперь определим знаки производной на промежутках (-∞, 2) и (2, +∞):

• Для x < 2, например, x = 1: y'(1) = 8 - 4(1)^3 = 4 (положительно).
• Для x > 2, например, x = 3: y'(3) = 8 - 4(3)^3 = -28 (отрицательно).

Таким образом, функция возрастает на промежутке (-∞, 2) и убывает на (2, +∞).

6. Вычислить производную

Мы уже нашли производную:

• y' = 8 - 4x^3.

7. Найти значение функции в точках экстремума

Так как у нас есть один экстремум в точке x = 2, подставим это значение в функцию:

• y(2) = 9 + 8(2) - (2)^4 = 9 + 16 - 16 = 9.
• Таким образом, точка экстремума: (2, 9).

8. Построить график функции

Для построения графика функции можно использовать найденные данные:

• Точка пересечения с осью Y: (0, 9).
• Экстремум: (2, 9).
• Функция убывает на (2, +∞) и возрастает на (-∞, 2).

График будет иметь форму, напоминающую перевернутую "U", с максимумом в точке (2, 9).

Вы можете использовать графический калькулятор или программное обеспечение для построения графика, чтобы визуализировать функцию.