Помогите решить тригонометрические уравнения:

1. ctg(x/3 + 2pi/3) = -1
2. 3sin^2x - sin xcos x - 2cos^2x = 0

Алгебра 11 класс Тригонометрические уравнения тригонометрические уравнения решение уравнений ctg(x/3 + 2pi/3) 3sin^2x - sin xcos x - 2cos^2x алгебра 11 класс Новый

Давайте решим каждое из тригонометрических уравнений по порядку.

Уравнение 1: ctg(x/3 + 2pi/3) = -1

Первым делом вспомним, что котангенс равен -1, когда аргумент равен (2n + 1) * pi/2, где n - любое целое число. То есть:

• ctg(x/3 + 2pi/3) = -1 означает, что:
• x/3 + 2pi/3 = (2n + 1) * pi/2

Теперь решим это уравнение для x:

1. Переносим 2pi/3:
2. x/3 = (2n + 1) * pi/2 - 2pi/3

Чтобы привести к общему знаменателю, найдем общий знаменатель для дробей. Общий знаменатель для 2 и 3 - это 6:

• (2n + 1) * pi/2 = (2n + 1) * 3pi/6 = (3(2n + 1)pi)/6
• 2pi/3 = (4pi)/6

Теперь подставим:

1. x/3 = (3(2n + 1)pi)/6 - (4pi)/6
2. x/3 = (3(2n + 1) - 4)pi/6
3. x/3 = (6n - 1)pi/6

Теперь умножим обе стороны на 3:

• x = (3(6n - 1)pi)/6
• x = (3n - 0.5)pi

Таким образом, общее решение уравнения:

x = (3n - 0.5)pi, n ∈ Z

Уравнение 2: 3sin^2x - sin xcos x - 2cos^2x = 0

Это уравнение можно решить, используя замену. Заменим sin^2x на (1 - cos^2x):

• 3(1 - cos^2x) - sin x * cos x - 2cos^2x = 0
• 3 - 3cos^2x - sin x * cos x - 2cos^2x = 0
• 3 - 5cos^2x - sin x * cos x = 0

Теперь выразим sin x через cos x:

• sin x = sqrt(1 - cos^2x)

Подставим это значение в уравнение:

• 3 - 5cos^2x - sqrt(1 - cos^2x) * cos x = 0

Это уравнение довольно сложное, поэтому давайте попробуем решить его, используя метод подбора. Мы можем попробовать подставить некоторые значения для cos x и посмотреть, при каких значениях уравнение будет равно нулю.

Однако, проще будет решить уравнение в исходной форме. Давайте попробуем разложить его:

• 3sin^2x - sin xcos x - 2cos^2x = (3sin x + 2cos x)(sin x - cos x) = 0

Теперь мы можем решить каждое из множителей:

1. 3sin x + 2cos x = 0
2. sin x - cos x = 0

Первое уравнение:

• 3sin x = -2cos x
• tan x = -2/3

Решение для x:

x = arctan(-2/3) + npi, n ∈ Z

Второе уравнение:

• sin x = cos x
• tan x = 1

Решение для x:

x = pi/4 + npi, n ∈ Z

В итоге, у нас есть два типа решений для второго уравнения:

x = arctan(-2/3) + npi, n ∈ Z и x = pi/4 + npi, n ∈ Z

Таким образом, мы решили оба тригонометрических уравнения.