Помогите решить тригонометрические уравнения:

1. ctg(x/3 + 2pi/3) = -1
2. 3sin^2x - sin xcos x - 2cos^2x = 0

Алгебра 11 класс Тригонометрические уравнения тригонометрические уравнения решение уравнений ctg(x/3 + 2pi/3) 3sin^2x sin xcos x 2cos^2x алгебра 11 класс Новый

Давайте решим каждое из тригонометрических уравнений по очереди.

1. Уравнение: ctg(x/3 + 2pi/3) = -1

Первым делом, вспомним, что котангенс равен -1, когда угол равен (2k + 1) * pi/4, где k - любое целое число. Это значит, что:

• x/3 + 2pi/3 = (2k + 1) * pi/4

Теперь решим это уравнение для x:

• Переносим 2pi/3 в правую часть:
• x/3 = (2k + 1) * pi/4 - 2pi/3

Найдём общий знаменатель для правой части:

• Общий знаменатель для 4 и 3 - это 12.
• Тогда (2k + 1) * pi/4 = (2k + 1) * 3pi/12
• А 2pi/3 = 8pi/12.

Теперь подставим это в уравнение:

• x/3 = (2k + 1) * 3pi/12 - 8pi/12
• x/3 = ((2k + 1) * 3 - 8)pi/12

Умножим обе стороны на 3:

• x = 3 * ((2k + 1) * 3 - 8)pi/12
• x = ((2k + 1) * 3 - 8) * pi/4

Таким образом, общее решение для x будет:

x = ((2k + 1) 3 - 8) pi/4, где k - любое целое число.

2. Уравнение: 3sin^2x - sin xcos x - 2cos^2x = 0

Это уравнение можно решить, используя замену переменных. Обозначим sin x = t. Тогда cos^2 x = 1 - t^2. Подставим это в уравнение:

• 3t^2 - t * sqrt(1 - t^2) - 2(1 - t^2) = 0

Упростим уравнение:

• 3t^2 - t * sqrt(1 - t^2) - 2 + 2t^2 = 0
• 5t^2 - 2 - t * sqrt(1 - t^2) = 0

Теперь из этого уравнения можно выразить sqrt(1 - t^2):

• t * sqrt(1 - t^2) = 5t^2 - 2

Теперь возведем обе стороны в квадрат:

• t^2(1 - t^2) = (5t^2 - 2)^2

Раскроем скобки и упростим уравнение. После этого мы получим квадратное уравнение относительно t. Решив его, мы найдем значения sin x. Затем, используя обратные функции, найдем значения x.

В результате у нас получится несколько решений для x в зависимости от значений t.

Итак, мы получили общее решение для первого уравнения и метод для нахождения решений второго уравнения. Если вам нужны дальнейшие шаги для второго уравнения, дайте знать!