Похожие вопросы
2024-11-20 22:30:19
Помогите решить уравнение:
3sin2x + 14sinxcosx + 8cos2x = 0
Алгебра 11 класс Тригонометрические уравнения алгебра 11 класс уравнение решение Тригонометрия синус косинус 3sin2x 14sinxcosx 8cos2x математические задачи школьная математика тригонометрические уравнения
2024-11-27 07:43:42
Давай разберемся с уравнением!
У нас есть уравнение:
3sin(2x) + 14sin(x)cos(x) + 8cos(2x) = 0
Сначала вспомним, что:
- sin(2x) = 2sin(x)cos(x)
- cos(2x) = cos²(x) - sin²(x)
Теперь подставим эти формулы в наше уравнение:
3(2sin(x)cos(x)) + 14sin(x)cos(x) + 8(cos²(x) - sin²(x)) = 0
Упрощаем:
6sin(x)cos(x) + 14sin(x)cos(x) + 8cos²(x) - 8sin²(x) = 0
Соберем подобные слагаемые:
(6 + 14)sin(x)cos(x) + 8(cos²(x) - sin²(x)) = 0
20sin(x)cos(x) + 8(cos²(x) - sin²(x)) = 0
Теперь можно вынести общий множитель:
4(5sin(x)cos(x) + 2(cos²(x) - sin²(x))) = 0
Теперь у нас два возможных случая:
- 4 = 0 (это невозможно)
- 5sin(x)cos(x) + 2(cos²(x) - sin²(x)) = 0
Решим второй случай:
5sin(x)cos(x) + 2(cos²(x) - sin²(x)) = 0
Подставим cos²(x) = 1 - sin²(x):
5sin(x)cos(x) + 2((1 - sin²(x)) - sin²(x)) = 0
5sin(x)cos(x) + 2(1 - 2sin²(x)) = 0
Теперь у нас есть:
5sin(x)cos(x) + 2 - 4sin²(x) = 0
4sin²(x) - 5sin(x)cos(x) - 2 = 0
Это квадратное уравнение относительно sin(x). Обозначим sin(x) = t:
4t² - 5tcos(x) - 2 = 0
Теперь можем использовать дискриминант:
D = b² - 4ac = (-5cos(x))² - 4*4*(-2) = 25cos²(x) + 32
Так как D всегда положителен, у нас есть два корня:
t1 = (5cos(x) + √D) / (2*4)
t2 = (5cos(x) - √D) / (2*4)
Теперь подставим обратно sin(x) и решим для x!
Вот так мы можем решить это уравнение! Удачи!
