Помогите решить уравнение:

3sin2x + 14sinxcosx + 8cos2x = 0

Алгебра 11 класс Тригонометрические уравнения алгебра 11 класс уравнение решение Тригонометрия синус косинус 3sin2x 14sinxcosx 8cos2x математические задачи школьная математика тригонометрические уравнения Новый

Давай разберемся с уравнением!

У нас есть уравнение:

3sin(2x) + 14sin(x)cos(x) + 8cos(2x) = 0

Сначала вспомним, что:

• sin(2x) = 2sin(x)cos(x)
• cos(2x) = cos²(x) - sin²(x)

Теперь подставим эти формулы в наше уравнение:

3(2sin(x)cos(x)) + 14sin(x)cos(x) + 8(cos²(x) - sin²(x)) = 0

Упрощаем:

6sin(x)cos(x) + 14sin(x)cos(x) + 8cos²(x) - 8sin²(x) = 0

Соберем подобные слагаемые:

(6 + 14)sin(x)cos(x) + 8(cos²(x) - sin²(x)) = 0

20sin(x)cos(x) + 8(cos²(x) - sin²(x)) = 0

Теперь можно вынести общий множитель:

4(5sin(x)cos(x) + 2(cos²(x) - sin²(x))) = 0

Теперь у нас два возможных случая:

1. 4 = 0 (это невозможно)
2. 5sin(x)cos(x) + 2(cos²(x) - sin²(x)) = 0

Решим второй случай:

5sin(x)cos(x) + 2(cos²(x) - sin²(x)) = 0

Подставим cos²(x) = 1 - sin²(x):

5sin(x)cos(x) + 2((1 - sin²(x)) - sin²(x)) = 0

5sin(x)cos(x) + 2(1 - 2sin²(x)) = 0

Теперь у нас есть:

5sin(x)cos(x) + 2 - 4sin²(x) = 0

4sin²(x) - 5sin(x)cos(x) - 2 = 0

Это квадратное уравнение относительно sin(x). Обозначим sin(x) = t:

4t² - 5tcos(x) - 2 = 0

Теперь можем использовать дискриминант:

D = b² - 4ac = (-5cos(x))² - 4*4*(-2) = 25cos²(x) + 32

Так как D всегда положителен, у нас есть два корня:

t1 = (5cos(x) + √D) / (2*4)

t2 = (5cos(x) - √D) / (2*4)

Теперь подставим обратно sin(x) и решим для x!

Вот так мы можем решить это уравнение! Удачи!