Давайте решим уравнение (cos x)² + sin 2x - 3(sin x)² = 0 шаг за шагом.

Шаг 1: Используем тригонометрические идентичности.

• Помним, что sin 2x = 2sin x cos x.
• Также знаем, что (cos x)² = 1 - (sin x)², так как sin²x + cos²x = 1.

Теперь подставим эти идентичности в уравнение:

(1 - (sin x)²) + 2sin x cos x - 3(sin x)² = 0.

Шаг 2: Упростим уравнение.

• Соберем все члены:
• 1 - (sin x)² + 2sin x cos x - 3(sin x)² = 0.
• Это можно переписать как:
• 1 + 2sin x cos x - 4(sin x)² = 0.

Шаг 3: Введем новую переменную.

Обозначим sin x как t. Тогда у нас получится:

1 + 2t√(1 - t²) - 4t² = 0.

Шаг 4: Решим это уравнение для t.

Перепишем уравнение:

2t√(1 - t²) = 4t² - 1.

Теперь возведем обе стороны в квадрат, чтобы избавиться от корня:

4t²(1 - t²) = (4t² - 1)².

Шаг 5: Раскроем скобки и упростим.

• Слева: 4t² - 4t^4.
• Справа: 16t^4 - 8t² + 1.

Теперь у нас есть:

4t² - 4t^4 = 16t^4 - 8t² + 1.

Соберем все члены в одну сторону:

0 = 20t^4 - 12t² + 1.

Шаг 6: Решим полученное квадратное уравнение.

Пусть u = t². Тогда у нас получится:

20u² - 12u + 1 = 0.

Теперь можем использовать дискриминант:

D = b² - 4ac = (-12)² - 4 * 20 * 1 = 144 - 80 = 64.

Теперь найдем корни:

u = (12 ± √64) / (2 * 20) = (12 ± 8) / 40.

Это дает два корня:

• u1 = (20) / 40 = 0.5,
• u2 = (4) / 40 = 0.1.

Шаг 7: Вернемся к переменной t.

Так как u = t², то:

• t² = 0.5 → t = ±√0.5 = ±√2/2,
• t² = 0.1 → t = ±√0.1.

Шаг 8: Найдем x.

Теперь вернемся к sin x:

• sin x = √2/2 → x = π/4 + 2kπ или x = 3π/4 + 2kπ (где k – целое число),
• sin x = -√2/2 → x = 5π/4 + 2kπ или x = 7π/4 + 2kπ.
• sin x = √0.1 → x = arcsin(√0.1) + 2kπ или x = π - arcsin(√0.1) + 2kπ.
• sin x = -√0.1 → x = -arcsin(√0.1) + 2kπ или x = π + arcsin(√0.1) + 2kπ.

Шаг 9: Запишем окончательный ответ.

Корни уравнения:

• x = π/4 + 2kπ,
• x = 3π/4 + 2kπ,
• x = 5π/4 + 2kπ,
• x = 7π/4 + 2kπ,
• x = arcsin(√0.1) + 2kπ,
• x = π - arcsin(√0.1) + 2kπ,
• x = -arcsin(√0.1) + 2kπ,
• x = π + arcsin(√0.1) + 2kπ.

Вот и всё! Уравнение решено. Если у вас есть вопросы, не стесняйтесь спрашивать!