Помогите решить уравнение: sin^4(2x) + 3cos(4x) - 1 = 0.

Алгебра 11 класс Тригонометрические уравнения уравнение алгебра sin cos решение Тригонометрия 11 класс математические задачи математический анализ Новый

Давайте решим уравнение sin^4(2x) + 3cos(4x) - 1 = 0 шаг за шагом.

1. Начнем с преобразования уравнения. Мы знаем, что cos(4x) можно выразить через sin(2x) с помощью формулы:

• cos(4x) = 2cos^2(2x) - 1 = 2(1 - sin^2(2x)) - 1 = 1 - 2sin^2(2x).

2. Теперь подставим это выражение в наше уравнение:

sin^4(2x) + 3(1 - 2sin^2(2x)) - 1 = 0.

3. Раскроем скобки:

sin^4(2x) + 3 - 6sin^2(2x) - 1 = 0.

4. Упростим уравнение:

sin^4(2x) - 6sin^2(2x) + 2 = 0.

5. Теперь сделаем замену переменной. Пусть y = sin^2(2x). Тогда уравнение примет вид:

y^2 - 6y + 2 = 0.

6. Решим это квадратное уравнение с помощью формулы корней:

y = (b ± √(b^2 - 4ac)) / 2a, где a = 1, b = -6, c = 2.

Подставим значения:

y = (6 ± √((-6)^2 - 4 * 1 * 2)) / (2 * 1) = (6 ± √(36 - 8)) / 2 = (6 ± √28) / 2 = (6 ± 2√7) / 2 = 3 ± √7.

7. Теперь вернемся к переменной sin^2(2x):

sin^2(2x) = 3 + √7 или sin^2(2x) = 3 - √7.

8. Проверим, какие из этих значений допустимы. Поскольку sin^2(2x) должно быть в диапазоне от 0 до 1, проверим:

• 3 + √7 > 1 (это значение не подходит, так как √7 примерно 2.645, и 3 + 2.645 > 1).
• 3 - √7 < 1 (это значение подходит, так как 3 - 2.645 < 1).

9. Теперь найдем sin(2x):

sin(2x) = ±√(3 - √7).

10. Теперь найдем 2x:

2x = arcsin(√(3 - √7)) + kπ и 2x = arcsin(-√(3 - √7)) + kπ, где k - целое число.

11. Разделим на 2, чтобы найти x:

x = (1/2)arcsin(√(3 - √7)) + kπ/2 и x = (1/2)arcsin(-√(3 - √7)) + kπ/2.

12. Таким образом, у нас есть два типа решений. Вы можете подставить значения k для получения конкретных чисел.

Это и есть решение уравнения sin^4(2x) + 3cos(4x) - 1 = 0.