Давайте решим выражение шаг за шагом:

Выражение, которое мы должны решить, выглядит следующим образом:

√192 * cos²(25π/12) - √48

• √192 можно упростить. Заметим, что 192 = 64 * 3, а √64 = 8. Тогда:
• √192 = √(64 * 3) = √64 * √3 = 8√3.

• Теперь упростим √48. Заметим, что 48 = 16 * 3, а √16 = 4. Тогда:
• √48 = √(16 * 3) = √16 * √3 = 4√3.

Таким образом, наше выражение становится:

8√3 * cos²(25π/12) - 4√3.

Мы видим, что в обоих членах выражения есть общий множитель 4√3. Выделим его:

4√3 * (2 * cos²(25π/12) - 1).

Теперь нам нужно найти значение cos²(25π/12). Для этого сначала найдем cos(25π/12).

• 25π/12 можно представить как 2π + π/12, так как 25/12 = 2 + 1/12.
• Используем периодичность косинуса: cos(2π + x) = cos(x), следовательно, cos(25π/12) = cos(π/12).

Теперь найдем cos(π/12). Используем формулу для косинуса разности:

• cos(π/12) = cos(15°) = cos(45° - 30°) = cos(45°)cos(30°) + sin(45°)sin(30°).
• Значения: cos(45°) = √2/2, cos(30°) = √3/2, sin(45°) = √2/2, sin(30°) = 1/2.

Подставляем значения:

cos(π/12) = (√2/2 * √3/2) + (√2/2 * 1/2) = (√6/4) + (√2/4) = (√6 + √2)/4.

Теперь найдем cos²(π/12):

cos²(π/12) = [(√6 + √2)/4]² = (6 + 2 + 2√12)/16 = (8 + 2√12)/16 = (2 + √12)/4.

Теперь подставим найденное значение cos²(25π/12) обратно в выражение:

4√3 * (2 * ((2 + √12)/4) - 1) = 4√3 * (1 + √12/4).

Упростим выражение:

4√3 * (1 + √12/4) = 4√3 + √3 * √12 = 4√3 + √36 = 4√3 + 6.

Таким образом, окончательный ответ:

4√3 + 6.