Похожие вопросы
2025-09-17 08:42:14
Помогите решить задачу с помощью производной наибольшего значения непрерывной функции:
Фермер решил создать сад у берега озера. Для ограждения сада у него было ровно 60 метров проволоки.
Поскольку одна сторона сада примыкала к берегу озера и не нуждалась в ограждении, фермер решил использовать проволоку только для трёх сторон - двух ширин и одной длины.
Определите, какой длины и ширины должен быть сад, чтобы его площадь была наибольшей.
Алгебра 11 класс Оптимизация функций алгебра 11 класс задача на производную максимальная площадь сада оптимизация площади фермер сад озеро ограждение сада проволока
2025-09-17 08:42:28
Для решения этой задачи мы будем использовать методы анализа функций и производные. Начнем с определения переменных и условий задачи.
Шаг 1: Определение переменных
- Обозначим ширину сада как w.
- Длину сада обозначим как l.
Шаг 2: Составление уравнения для периметра
Поскольку одна сторона сада примыкает к берегу, проволока будет использоваться для двух ширин и одной длины. Таким образом, у нас есть следующее уравнение для периметра:
2w + l = 60
Шаг 3: Составление уравнения для площади
Площадь сада A определяется как:
A = l * wШаг 4: Выражение одной переменной через другую
Из уравнения периметра выразим l через w:
l = 60 - 2wШаг 5: Подставим выражение для длины в уравнение площади
Теперь подставим l в уравнение площади:
A = (60 - 2w) * wРаскроем скобки:
A = 60w - 2w²Шаг 6: Нахождение производной площади
Теперь найдем производную площади по w:
A' = 60 - 4wШаг 7: Найдем критические точки
Чтобы найти максимальное значение площади, приравняем производную к нулю:
60 - 4w = 0Решим это уравнение:
4w = 60 w = 15Шаг 8: Найдем длину сада
Теперь подставим найденное значение w обратно в уравнение для l:
l = 60 - 2 * 15 = 30Шаг 9: Проверка максимума
Чтобы убедиться, что это действительно максимум, мы можем проверить вторую производную:
A'' = -4Поскольку вторая производная отрицательна, это подтверждает, что у нас максимум.
Ответ:
Ширина сада должна составлять 15 метров, а длина - 30 метров, чтобы площадь была максимальной.