Помогите с алгеброй: как решить уравнение (x²-2x)²-2(x-1)²-1=0?

Алгебра 11 класс Уравнения с параметрами решение уравнения алгебра 11 класс квадратное уравнение уравнение с квадратами математическая помощь Новый

Чтобы решить уравнение (x²-2x)²-2(x-1)²-1=0, давайте сначала упростим его шаг за шагом.

1. Раскроем скобки в уравнении:
   • Первую часть: (x² - 2x)² можно оставить как есть на данном этапе.
   • Вторую часть: -2(x - 1)² = -2(x² - 2x + 1) = -2x² + 4x - 2.
2. Подставим упрощенные части в уравнение:

   У нас получается:

   (x² - 2x)² - 2x² + 4x - 2 - 1 = 0
3. Соберем все части в одно уравнение:

   Это будет выглядеть так:

   (x² - 2x)² - 2x² + 4x - 3 = 0
4. Введем новую переменную:

   Обозначим y = x² - 2x. Тогда уравнение примет вид:

   y² - 2x² + 4x - 3 = 0
5. Заменим x²:

   Так как x² = y + 2x, подставим это в уравнение:

   y² - 2(y + 2x) + 4x - 3 = 0
6. Упростим уравнение:

   Раскроем скобки:

   y² - 2y - 4x + 4x - 3 = 0

   Упрощаем:

   y² - 2y - 3 = 0
7. Решим квадратное уравнение:

   Теперь у нас есть квадратное уравнение y² - 2y - 3 = 0. Используем формулу для решения квадратных уравнений:

   y = (2 ± √(2² - 4 * 1 * (-3))) / (2 * 1)

   y = (2 ± √(4 + 12)) / 2 = (2 ± √16) / 2 = (2 ± 4) / 2.

   Таким образом, получаем два значения:

   • y₁ = (2 + 4) / 2 = 6 / 2 = 3
   • y₂ = (2 - 4) / 2 = -2 / 2 = -1
8. Вернемся к переменной x:

   Теперь подставим обратно значения y:

   • Для y₁ = 3: x² - 2x = 3. Это уравнение можно переписать как x² - 2x - 3 = 0.
   • Для y₂ = -1: x² - 2x = -1. Это уравнение можно переписать как x² - 2x + 1 = 0.
9. Решим каждое уравнение:
   • Для x² - 2x - 3 = 0: Используем формулу для решения квадратных уравнений:

   x = (2 ± √(2² - 4 * 1 * (-3))) / (2 * 1) = (2 ± √(4 + 12)) / 2 = (2 ± 4) / 2.

   • Получаем x₁ = 3 и x₂ = -1.
   • Для x² - 2x + 1 = 0: Это уравнение имеет вид (x - 1)² = 0, следовательно, x = 1.
10. Итоговые решения:

    Таким образом, у нас есть три решения:

    • x₁ = 3
    • x₂ = -1
    • x₃ = 1

Ответ: x = 3, x = -1, x = 1.