Помогите с алгеброй. Тема "Тригонометрия".

1. Как найти все решения уравнения 2cos x + sin x / cos x - 7sin x = -1/2, которые принадлежат отрезку [-П; П]?
2. Как решить уравнение 2cos(П/2 - x) = корень из 2?

Алгебра 11 класс Тригонометрические уравнения алгебра Тригонометрия уравнение решения cos sin корень из 2 отрезок п п/2 Новый

Давайте разберем оба уравнения по порядку.

Первое уравнение: 2cos x + sin x / cos x - 7sin x = -1/2.

Сначала упростим уравнение. Мы можем переписать его, чтобы избавиться от дроби:

• Умножим обе стороны на (cos x - 7sin x), чтобы избавиться от знаменателя:

2cos x + sin x = -1/2 * (cos x - 7sin x).

Теперь раскроем скобки:

• 2cos x + sin x = -1/2 * cos x + 7/2 * sin x.

Переносим все члены на одну сторону:

• (2 + 1/2)cos x + (1 - 7/2)sin x = 0.

Упрощаем:

• (5/2)cos x - (5/2)sin x = 0.

Теперь можно вынести общий множитель:

• (5/2)(cos x - sin x) = 0.

Поскольку 5/2 не равно нулю, мы можем решить уравнение:

• cos x - sin x = 0.

Это означает, что:

• cos x = sin x.

Это происходит, когда x = π/4 + kπ, где k - целое число. Теперь нам нужно найти все решения в пределах [-π; π]:

• k = -1: x = -3π/4;
• k = 0: x = π/4;
• k = 1: x = π/4 + π = 5π/4 (это выходит за пределы);

Таким образом, решения первого уравнения на отрезке [-π; π]: x = -3π/4 и x = π/4.

Второе уравнение: 2cos(π/2 - x) = корень из 2.

Используем тригонометрическую идентичность: cos(π/2 - x) = sin x.

Заменяем в уравнении:

• 2sin x = корень из 2.

Теперь делим обе стороны на 2:

• sin x = корень из 2 / 2.

Значение sin x равно корень из 2 / 2, когда:

• x = π/4 + 2kπ;
• x = 3π/4 + 2kπ, где k - целое число.

Теперь найдем решения в пределах [-π; π]:

• k = 0: x = π/4 и x = 3π/4;
• k = -1: x = π/4 - 2π = -7π/4 (это выходит за пределы);
• k = -1: x = 3π/4 - 2π = -5π/4 (это тоже выходит за пределы);

Таким образом, решения второго уравнения на отрезке [-π; π]: x = π/4 и x = 3π/4.

Если у вас есть дополнительные вопросы или нужна помощь с другими задачами, не стесняйтесь спрашивать!