Помогите с домашним заданием. Нужно упростить следующие выражения:

1. 2sin^2(pi/4+3x/2)-1
2. cos^4x-sin^4x-cos^2x
3. 2cos^2(pi/4-3x/2)-1

Алгебра 11 класс Тригонометрические функции и их свойства упрощение выражений алгебра 11 класс тригонометрические функции домашнее задание по алгебре задачи по алгебре синус и косинус Новый

Конечно, давайте упростим каждое из данных выражений по порядку.

1. Упрощение выражения: 2sin^2(pi/4 + 3x/2) - 1

• Сначала воспользуемся формулой синуса суммы: sin(a + b) = sin(a)cos(b) + cos(a)sin(b). В нашем случае a = pi/4 и b = 3x/2.
• Находим sin(pi/4) и cos(pi/4): sin(pi/4) = cos(pi/4) = sqrt(2)/2.
• Теперь подставим:
  • sin(pi/4 + 3x/2) = sin(pi/4)cos(3x/2) + cos(pi/4)sin(3x/2) = (sqrt(2)/2)cos(3x/2) + (sqrt(2)/2)sin(3x/2).
• Теперь подставим это значение в исходное выражение:
  • 2sin^2(pi/4 + 3x/2) = 2[(sqrt(2)/2)cos(3x/2) + (sqrt(2)/2)sin(3x/2)]^2.
• Упрощаем:
  • 2[(2/4)(cos^2(3x/2) + sin^2(3x/2) + 2*(sqrt(2)/2)(sqrt(2)/2)cos(3x/2)sin(3x/2))] - 1.
  • Используем формулу sin^2 + cos^2 = 1: 2*(1 + cos(3x) - 1) = 2cos(3x).

Таким образом, выражение 2sin^2(pi/4 + 3x/2) - 1 упрощается до 2cos(3x).

2. Упрощение выражения: cos^4x - sin^4x - cos^2x

• Заметим, что cos^4x - sin^4x можно представить как разность квадратов: (cos^2x + sin^2x)(cos^2x - sin^2x).
• Так как cos^2x + sin^2x = 1, то выражение упрощается до:
  • 1 * (cos^2x - sin^2x) = cos^2x - sin^2x.
• Теперь подставим это обратно в исходное выражение:
  • cos^2x - sin^2x - cos^2x = -sin^2x.

Таким образом, выражение cos^4x - sin^4x - cos^2x упрощается до -sin^2x.

3. Упрощение выражения: 2cos^2(pi/4 - 3x/2) - 1

• Сначала воспользуемся формулой косинуса разности: cos(a - b) = cos(a)cos(b) + sin(a)sin(b). В нашем случае a = pi/4 и b = 3x/2.
• Находим cos(pi/4) и sin(pi/4): cos(pi/4) = sin(pi/4) = sqrt(2)/2.
• Теперь подставим:
  • cos(pi/4 - 3x/2) = cos(pi/4)cos(3x/2) + sin(pi/4)sin(3x/2) = (sqrt(2)/2)cos(3x/2) + (sqrt(2)/2)sin(3x/2).
• Теперь подставим это значение в исходное выражение:
  • 2cos^2(pi/4 - 3x/2) = 2[(sqrt(2)/2)cos(3x/2) + (sqrt(2)/2)sin(3x/2)]^2.
• Упрощаем:
  • 2[(2/4)(cos^2(3x/2) + sin^2(3x/2) + 2*(sqrt(2)/2)(sqrt(2)/2)cos(3x/2)sin(3x/2))] - 1.
  • Используем формулу sin^2 + cos^2 = 1: 2*(1 + cos(3x) - 1) = 2cos(3x).

Таким образом, выражение 2cos^2(pi/4 - 3x/2) - 1 упрощается до 2cos(3x).

Итак, итоговые результаты:

• 1. 2sin^2(pi/4 + 3x/2) - 1 = 2cos(3x)
• 2. cos^4x - sin^4x - cos^2x = -sin^2x
• 3. 2cos^2(pi/4 - 3x/2) - 1 = 2cos(3x)