Давайте разберем каждую задачу по порядку.

1. Решите неравенство: |sin(2x)| ≤ 1/2.

Для начала вспомним, что модуль функции |sin(2x)| всегда принимает значения от 0 до 1. Следовательно, неравенство |sin(2x)| ≤ 1/2 означает, что sin(2x) находится в пределах от -1/2 до 1/2. Это можно записать как два отдельных неравенства:

1. sin(2x) ≤ 1/2
2. sin(2x) ≥ -1/2

Теперь решим каждое из них по отдельности.

Для первого неравенства sin(2x) ≤ 1/2:

• sin(2x) = 1/2, когда 2x = π/6 + 2kπ и 2x = 5π/6 + 2kπ, где k - любое целое число.
• Таким образом, 2x = π/6 + 2kπ и 2x = 5π/6 + 2kπ.
• Следовательно, x = π/12 + kπ и x = 5π/12 + kπ.

Теперь для второго неравенства sin(2x) ≥ -1/2:

• sin(2x) = -1/2, когда 2x = 7π/6 + 2kπ и 2x = 11π/6 + 2kπ.
• Таким образом, 2x = 7π/6 + 2kπ и 2x = 11π/6 + 2kπ.
• Следовательно, x = 7π/12 + kπ и x = 11π/12 + kπ.

Теперь объединим все найденные решения:

• x = π/12 + kπ
• x = 5π/12 + kπ
• x = 7π/12 + kπ
• x = 11π/12 + kπ

Таким образом, полное решение: x = π/12 + kπ, x = 5π/12 + kπ, x = 7π/12 + kπ, x = 11π/12 + kπ, где k - любое целое число.

2. Используя метод введения вспомогательного аргумента, найдите решение неравенства: корень из 3 cos(2x) + sin(2x) < 1.

Для начала введем вспомогательный аргумент:

Обозначим y = cos(2x), тогда sin(2x) = √(1 - y²) (по теореме Пифагора).

Теперь подставим это в неравенство:

√3y + √(1 - y²) < 1.

Теперь мы можем возвести обе стороны в квадрат, но сначала убедимся, что обе стороны неотрицательны. Для этого найдем область определения:

• √(1 - y²) ≥ 0, что дает -1 ≤ y ≤ 1.

Теперь возведем в квадрат: (√3y + √(1 - y²))² < 1².

Раскроем скобки:

3y² + 2√3y√(1 - y²) + (1 - y²) < 1.

Упростим это неравенство:

2y² + 2√3y√(1 - y²) < 0.

Теперь выделим 2y²:

y² + √3y√(1 - y²) < 0.

Это неравенство решается методом подбора. Мы можем заметить, что при y = 0 неравенство выполняется:

Таким образом, решим его для y < 0. Это означает, что cos(2x) < 0.

cos(2x) < 0, когда:

• 2x = π/2 + kπ, где k - любое целое число.
• Следовательно, x = π/4 + kπ/2.

Таким образом, решение неравенства: x = π/4 + kπ/2, где k - любое целое число.

3. Решите неравенства:

a) cos(x) > √2/2.

cos(x) > √2/2, когда x находится в интервале:

• 0 < x < π/4 + 2kπ
• 0 < x < 7π/4 + 2kπ.

Таким образом, решение: x ∈ (0, π/4) ∪ (7π/4, 2π) + 2kπ, где k - любое целое число.

b) tg(x) > -√3.

tg(x) > -√3, когда x находится в интервале:

• π/3 + kπ < x < 2π/3 + kπ.

Таким образом, решение: x ∈ (π/3, 2π/3) + kπ, где k - любое целое число.

Если у вас есть дополнительные вопросы или нужна помощь с другими задачами, не стесняйтесь спрашивать!