Помогите, завтра контрольная! Как решить неравенство с логарифмами: (log_0,5 x)² - 3 log_0,5 x - 4 ≤ 0?

Алгебра 11 класс Неравенства с логарифмами неравенство с логарифмами решение неравенства контрольная по алгебре логарифмическое неравенство алгебра 11 класс Новый

Не переживайте, давайте разберем это неравенство шаг за шагом!

У нас есть неравенство:

(log_0,5 x)² - 3 log_0,5 x - 4 ≤ 0

Первый шаг - давайте введем замену переменной, чтобы упростить выражение. Пусть:

y = log_0,5 x

Теперь наше неравенство принимает вид:

y² - 3y - 4 ≤ 0

Следующий шаг - решим квадратное неравенство. Для этого сначала найдем корни соответствующего квадратного уравнения:

• Используем формулу корней квадратного уравнения: y = (-b ± √(b² - 4ac)) / 2a, где a = 1, b = -3, c = -4.
• Подставляем значения: y = (3 ± √((-3)² - 4 * 1 * (-4))) / (2 * 1).
• Вычисляем дискриминант: D = 9 + 16 = 25.
• Теперь находим корни: y = (3 ± 5) / 2.

Это дает нам два корня:

• y₁ = (3 + 5) / 2 = 4,
• y₂ = (3 - 5) / 2 = -1.

Теперь мы знаем, что у нас есть корни y = 4 и y = -1. Следующий шаг - определить знак выражения y² - 3y - 4 на интервалах, которые образуются этими корнями:

• Интервалы: (-∞, -1), (-1, 4), (4, +∞).

Теперь мы проверим знак на каждом из этих интервалов:

• Для интервала (-∞, -1): возьмем, например, y = -2. Подставляем: (-2)² - 3*(-2) - 4 = 4 + 6 - 4 = 6 > 0.
• Для интервала (-1, 4): возьмем, например, y = 0. Подставляем: (0)² - 3*(0) - 4 = -4 < 0.
• Для интервала (4, +∞): возьмем, например, y = 5. Подставляем: (5)² - 3*(5) - 4 = 25 - 15 - 4 = 6 > 0.

Теперь мы можем записать, где выражение меньше или равно нулю:

y² - 3y - 4 ≤ 0 на интервале [-1, 4].

Теперь вернемся к нашей замене. Мы имеем:

-1 ≤ log_0,5 x ≤ 4.

Чтобы решить это неравенство, вспомним, что логарифм с основанием меньше 1 (в данном случае 0,5) меняет знак неравенства:

• log_0,5 x ≥ -1 → x ≤ 0,5^-1 = 2.
• log_0,5 x ≤ 4 → x ≥ 0,5^-4 = 16.

Таким образом, мы получаем два условия:

x ≤ 2 и x ≥ 16.

Однако эти условия не могут выполняться одновременно, поэтому решение неравенства:

Нет решений.

Надеюсь, это поможет вам подготовиться к контрольной! Удачи!