Для решения неравенства 2log1/2(x-2) + log2(x^2-2x-1) < 1 начнем с упрощения выражений логарифмов.

Первым делом, вспомним, что логарифм с основанием 1/2 можно переписать через логарифм с основанием 2. Мы знаем, что:

• log1/2(a) = -log2(a)

Таким образом, мы можем переписать первое слагаемое:

2log1/2(x-2) = 2 * (-log2(x-2)) = -2log2(x-2).

Теперь подставим это в неравенство:

-2log2(x-2) + log2(x^2-2x-1) < 1.

Теперь мы можем объединить логарифмы:

log2((x^2-2x-1)/(x-2)^2) < 1.

Чтобы избавиться от логарифма, возведем обе стороны в степень 2:

(x^2-2x-1)/(x-2)^2 < 2.

Теперь перемножим обе части неравенства на (x-2)^2, но помним, что (x-2)^2 всегда положительно, если x ≠ 2:

x^2 - 2x - 1 < 2(x-2)^2.

Раскроем скобки:

x^2 - 2x - 1 < 2(x^2 - 4x + 4).

x^2 - 2x - 1 < 2x^2 - 8x + 8.

Теперь перенесем все в одну сторону:

0 < 2x^2 - 8x + 8 - x^2 + 2x + 1.

0 < x^2 - 6x + 9.

Это неравенство можно переписать как:

0 < (x-3)^2.

Неравенство (x-3)^2 > 0 выполняется для всех x, кроме x = 3. Таким образом, x ≠ 3.

Теперь нам нужно проверить, при каких значениях x выполняются условия логарифмов:

• x - 2 > 0, что означает x > 2;
• x^2 - 2x - 1 > 0, что можно решить как квадратное неравенство.

Решим второе неравенство:

x^2 - 2x - 1 = 0. Найдем дискриминант:

D = (-2)^2 - 4 * 1 * (-1) = 4 + 4 = 8.

Корни уравнения:

x1 = (2 + sqrt(8))/2 = 1 + sqrt(2);

x2 = (2 - sqrt(8))/2 = 1 - sqrt(2).

Точки 1 - sqrt(2) и 1 + sqrt(2) находятся примерно в пределах 0.586 и 2.414 соответственно. Теперь мы можем проанализировать знаки:

• На интервале (-∞, 1 - sqrt(2)) - значения отрицательные;
• На интервале (1 - sqrt(2),1 + sqrt(2)) - значения положительные;
• На интервале (1 + sqrt(2),+∞) - значения положительные.

Таким образом, x^2 - 2x - 1 > 0 при x < 1 - sqrt(2) и x > 1 + sqrt(2).

Теперь объединим все условия:

• x > 2;
• x ≠ 3;
• x > 1 + sqrt(2) (приблизительно 2.414).

Из этих условий следует, что решением неравенства будет:

x > 1 + sqrt(2),x ≠ 3.

Итак, окончательный ответ:

x > 1 + sqrt(2),x ≠ 3.