Пожалуйста, помогите решить уравнение: 5sin^2x + 3cos^2x = 4sin2x.

Алгебра 11 класс Тригонометрические уравнения уравнение алгебра 11 класс решение Тригонометрия синус косинус квадрат синус квадрат косинус квадрат синус двойного угла Новый

Чтобы решить уравнение 5sin²x + 3cos²x = 4sin2x, начнем с того, что вспомним, что sin2x можно выразить через синусы и косинусы:

sin2x = 2sinxcosx.

Теперь подставим это выражение в уравнение:

5sin²x + 3cos²x = 4(2sinxcosx).

Это упростится до:

5sin²x + 3cos²x = 8sinxcosx.

Теперь мы можем выразить cos²x через sin²x, используя основное тригонометрическое тождество:

cos²x = 1 - sin²x.

Подставим это в уравнение:

5sin²x + 3(1 - sin²x) = 8sinx(√(1 - sin²x)).

Раскроем скобки:

5sin²x + 3 - 3sin²x = 8sinx(√(1 - sin²x)).

Упростим левую часть:

2sin²x + 3 = 8sinx(√(1 - sin²x)).

Теперь перенесем все в одну сторону:

2sin²x + 3 - 8sinx(√(1 - sin²x)) = 0.

Это уравнение сложно решить аналитически, поэтому давайте введем замену:

Обозначим sinx = t. Тогда у нас получится:

2t² + 3 - 8t√(1 - t²) = 0.

Теперь, чтобы избавиться от корня, мы можем возвести обе стороны уравнения в квадрат, но сначала выделим корень:

8t√(1 - t²) = 2t² + 3.

Теперь возведем обе стороны в квадрат:

(8t√(1 - t²))² = (2t² + 3)².

Это даст нам:

64t²(1 - t²) = 4t^4 + 12t² + 9.

Упростим левую часть:

64t² - 64t^4 = 4t^4 + 12t² + 9.

Переносим все в одну сторону:

64t² - 12t² - 9 - 64t^4 - 4t^4 = 0.

Это упростится до:

-68t^4 + 52t² - 9 = 0.

Теперь умножим уравнение на -1 для удобства:

68t^4 - 52t² + 9 = 0.

Теперь давайте сделаем замену: y = t². Тогда у нас получится:

68y² - 52y + 9 = 0.

Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

D = b² - 4ac = (-52)² - 4 * 68 * 9.

D = 2704 - 2448 = 256.

Теперь найдем корни:

y1,2 = (52 ± √256) / (2 * 68).

√256 = 16, поэтому:

y1 = (52 + 16) / 136 = 68 / 136 = 1/2,

y2 = (52 - 16) / 136 = 36 / 136 = 9/34.

Теперь вернемся к переменной t:

t² = 1/2 или t² = 9/34.

Таким образом, sinx = √(1/2) или sinx = √(9/34).

Решая это, мы получаем:

sinx = 1/√2 или sinx = 3/√34.

Теперь найдем x:

• Для sinx = 1/√2: x = π/4 + 2kπ и x = 3π/4 + 2kπ, где k - целое число.
• Для sinx = 3/√34: x = arcsin(3/√34) + 2kπ и x = π - arcsin(3/√34) + 2kπ, где k - целое число.

Таким образом, мы нашли все решения уравнения.