Пожалуйста, помогите, завтра сдавать самостоятельную, а я не могу разобраться в решении: как исследовать функцию на возрастание (убывание) и экстремумы, а также построить ее график для функции f(x) = (x^3)/3 + (x^2)/2 - 2x - 1?

Алгебра 11 класс Исследование функций исследование функции возрастание функции убывание функции экстремумы функции график функции f(x) = (x^3)/3 + (x^2)/2 - 2x - 1 алгебра 11 класс решение задач по алгебре самостоятельная работа по алгебре Новый

Давайте разберем, как исследовать функцию f(x) = (x^3)/3 + (x^2)/2 - 2x - 1 на возрастание, убывание и экстремумы, а также построить ее график. Мы будем следовать нескольким шагам.

Шаг 1: Найдем производную функции

Для начала, нам нужно найти первую производную функции f(x). Производная поможет нам определить, где функция возрастает и убывает.

f'(x) = d/dx [(x^3)/3 + (x^2)/2 - 2x - 1]

Используем правила дифференцирования:

• Производная (x^n) = n*x^(n-1)
• Производная константы = 0

Таким образом, получаем:

• f'(x) = (3/3)x^2 + (2/2)x - 2 = x^2 + x - 2

Шаг 2: Найдем критические точки

Критические точки находятся там, где производная равна нулю или не существует. Найдем точки, где f'(x) = 0:

x^2 + x - 2 = 0

Эта квадратное уравнение можно решить с помощью дискриминанта:

• D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4*1*(-2) = 1 + 8 = 9

Теперь находим корни:

• x1 = (-b + sqrt(D)) / (2a) = (-1 + 3) / 2 = 1
• x2 = (-b - sqrt(D)) / (2a) = (-1 - 3) / 2 = -2

Шаг 3: Исследуем знак производной

Теперь мы имеем критические точки x1 = 1 и x2 = -2. Исследуем знак производной на интервалах:

• Интервал (-∞, -2)
• Интервал (-2, 1)
• Интервал (1, +∞)

Выберем тестовые точки:

• Для интервала (-∞, -2), например, x = -3: f'(-3) = (-3)^2 + (-3) - 2 = 9 - 3 - 2 = 4 (положительное)
• Для интервала (-2, 1), например, x = 0: f'(0) = 0^2 + 0 - 2 = -2 (отрицательное)
• Для интервала (1, +∞), например, x = 2: f'(2) = 2^2 + 2 - 2 = 4 + 2 - 2 = 4 (положительное)

Таким образом, мы можем сделать выводы:

• Функция возрастает на интервале (-∞, -2)
• Функция убывает на интервале (-2, 1)
• Функция возрастает на интервале (1, +∞)

Шаг 4: Найдем экстремумы

Теперь, когда мы знаем, где функция возрастает и убывает, мы можем определить, что:

• В точке x = -2 - локальный максимум
• В точке x = 1 - локальный минимум

Шаг 5: Найдем значения функции в экстремумах

Теперь найдем значения функции в этих точках:

• f(-2) = ((-2)^3)/3 + ((-2)^2)/2 - 2*(-2) - 1 = -8/3 + 2 + 4 - 1 = -8/3 + 5 = 7/3
• f(1) = (1^3)/3 + (1^2)/2 - 2*1 - 1 = 1/3 + 1/2 - 2 - 1 = 1/3 + 3/6 - 12/6 = -10/6 = -5/3

Шаг 6: Построим график функции

Теперь, зная значения функции в критических точках и интервалы возрастания и убывания, мы можем построить график:

• Точка (-2, 7/3) - локальный максимум
• Точка (1, -5/3) - локальный минимум

График будет выглядеть следующим образом:

• Сначала функция возрастает до точки (-2, 7/3), затем убывает до точки (1, -5/3), и снова возрастает.

Таким образом, вы успешно исследовали функцию и можете построить ее график. Удачи на самостоятельной работе!