Пожалуйста, решите следующие уравнения:

1. sin(0,5) = -1
2. cos(3x + П/4) = -корень3/2
3. tg(x/2) = -корень3/3 и найдите сумму его корней, принадлежащих промежутку [-1,5; 2П]
4. cos(x) = cos(4)

Алгебра 11 класс Тригонометрические уравнения алгебра 11 класс решение уравнений тригонометрические уравнения синус косинус тангенс корни уравнений промежуток решений Новый

Давайте по порядку решим каждое из уравнений и найдем сумму корней, принадлежащих заданному промежутку.

1. Уравнение: sin(0,5) = -1

Сначала отметим, что значение sin(0,5) не равно -1. Функция синуса принимает значение -1 только при угле (3П/2) + 2kП, где k - целое число. Таким образом, это уравнение не имеет решений.

2. Уравнение: cos(3x + П/4) = -корень3/2

Значение косинуса равно -корень3/2 при углах (5П/6) + 2kП и (7П/6) + 2kП.

Теперь запишем два уравнения:

1. 3x + П/4 = 5П/6 + 2kП
2. 3x + П/4 = 7П/6 + 2kП

Решим первое уравнение:

3x = 5П/6 - П/4 + 2kП

Приведем к общему знаменателю:

5П/6 - П/4 = 5П/6 - 3П/12 = (10П - 9П)/12 = П/12

Итак, 3x = П/12 + 2kП.

Теперь делим на 3:

x = П/36 + (2kП)/3.

Теперь решим второе уравнение:

3x + П/4 = 7П/6 + 2kП

3x = 7П/6 - П/4 + 2kП.

Приведем к общему знаменателю:

7П/6 - П/4 = 7П/6 - 3П/12 = (14П - 9П)/12 = 5П/12.

Итак, 3x = 5П/12 + 2kП.

Теперь делим на 3:

x = 5П/36 + (2kП)/3.

Теперь найдем корни в промежутке [-1,5; 2П].

Для k = 0:

• x = П/36 ≈ 0.087 (принадлежит промежутку)
• x = 5П/36 ≈ 0.436 (принадлежит промежутку)

Для k = 1:

• x = П/36 + (2П)/3 = П/36 + 24П/36 = 25П/36 ≈ 2.18 (принадлежит промежутку)
• x = 5П/36 + (2П)/3 = 5П/36 + 24П/36 = 29П/36 ≈ 2.54 (принадлежит промежутку)

Для k = 2:

• x = П/36 + 4П/3 = П/36 + 48П/36 = 49П/36 ≈ 4.29 (не принадлежит промежутку)
• x = 5П/36 + 4П/3 = 5П/36 + 48П/36 = 53П/36 ≈ 4.66 (не принадлежит промежутку)

Итак, корни уравнения: П/36, 5П/36, 25П/36, 29П/36.

3. Уравнение: tg(x/2) = -корень3/3

Значение тангенса равно -корень3/3 при углах (П/6) + kП и (7П/6) + kП.

Запишем два уравнения:

1. x/2 = П/6 + kП
2. x/2 = 7П/6 + kП

Теперь умножаем на 2:

1. x = П/3 + 2kП
2. x = 7П/3 + 2kП

Теперь найдем корни в промежутке [-1,5; 2П].

Для k = 0:

• x = П/3 ≈ 1.05 (принадлежит промежутку)
• x = 7П/3 ≈ 7.33 (не принадлежит промежутку)

Для k = -1:

• x = П/3 - 2П = П/3 - 6П/3 = -5П/3 (не принадлежит промежутку)
• x = 7П/3 - 2П = 7П/3 - 6П/3 = П/3 (принадлежит промежутку)

Итак, корни уравнения: П/3.

4. Уравнение: cos(x) = cos(4)

Косинус равен косинусу при углах x = 4 + 2kП и x = -4 + 2kП.

Теперь найдем корни в промежутке [-1,5; 2П].

Для k = 0:

• x = 4 (принадлежит промежутку)
• x = -4 (не принадлежит промежутку)

Для k = 1:

• x = 4 + 2П ≈ 10.28 (не принадлежит промежутку)
• x = -4 + 2П ≈ 2.28 (принадлежит промежутку)

Итак, корни уравнения: 4, 2П - 4.

Теперь найдем сумму всех корней:

Соберем все корни:

• П/36
• 5П/36
• П/3
• 4
• 2П - 4

Сумма корней:

Сумма = (П/36) + (5П/36) + (П/3) + 4 + (2П - 4).

Преобразуем:

Сумма = (П/36 + 5П/36 + 12П/36) + (2П) = (18П/36) + (2П) = (П/2) + 2П = (П/2 + 4П/2) = (5П/2).

Итак, сумма корней равна 5П/2.