Пожалуйста, срочно. Дам 100 баллов. Как решить уравнение: sin(x) + sin(7x) - cos(5x) - cos(π - 3x) = 0?

Алгебра 11 класс Тригонометрические уравнения решение уравнения алгебра тригонометрические функции sin и cos уравнение sin(x) + sin(7x) - cos(5x) - cos(π - 3x) = 0 Новый

Для решения уравнения sin(x) + sin(7x) - cos(5x) - cos(π - 3x) = 0 мы будем использовать некоторые тригонометрические свойства и преобразования. Давайте разберем уравнение шаг за шагом.

1. Упрощение косинуса: Обратите внимание на выражение cos(π - 3x). Мы знаем, что cos(π - θ) = -cos(θ). Поэтому:
   • cos(π - 3x) = -cos(3x)
2. Подставим это в уравнение:
   • sin(x) + sin(7x) - cos(5x) + cos(3x) = 0
3. Перепишем уравнение:
   • sin(x) + sin(7x) = cos(5x) - cos(3x)
4. Используем формулы сложения: Мы можем использовать формулы для суммы синусов и разности косинусов:
   • cos(5x) - cos(3x) = -2sin((5x + 3x)/2)sin((5x - 3x)/2) = -2sin(4x)sin(x)
5. Теперь у нас есть:
   • sin(x) + sin(7x) = -2sin(4x)sin(x)
6. Переносим все в одну сторону:
   • sin(x) + sin(7x) + 2sin(4x)sin(x) = 0
   • sin(x)(1 + 2sin(4x)) + sin(7x) = 0
7. Решаем уравнение: У нас есть произведение, равное нулю, что означает, что хотя бы один из множителей равен нулю:
   • sin(x) = 0
   • 1 + 2sin(4x) = 0
   • sin(7x) = 0
8. Решим каждое из уравнений:
   • sin(x) = 0: x = nπ, где n - целое число.
   • 1 + 2sin(4x) = 0: sin(4x) = -1/2. Это означает, что 4x = 7π/6 + 2kπ или 4x = 11π/6 + 2kπ, где k - целое число. Отсюда x = (7π/24 + kπ/2) или x = (11π/24 + kπ/2).
   • sin(7x) = 0: 7x = mπ, где m - целое число. Следовательно, x = mπ/7.

Таким образом, мы получили несколько решений для уравнения. Важно учитывать, что в зависимости от области определения, в которой мы ищем решения, мы можем ограничить значения n, k и m, чтобы получить конечный набор решений.