Пожалуйста, срочно!!!

Как найти наибольшее и наименьшее значение следующих функций:

1. y = x + 4/корень x, на отрезке [1; 9]
2. y = sin^2 x - cos^2 x, на отрезке [0; pi]

Алгебра 11 класс Оптимизация функций Наибольшее значение функции наименьшее значение функции алгебра 11 класс функции на отрезке анализ функций максимумы и минимумы y = x + 4/корень x y = sin^2 x - cos^2 x Новый

Чтобы найти наибольшее и наименьшее значение заданных функций на указанных отрезках, необходимо выполнить следующие шаги:

1. Функция y = x + 4/корень x на отрезке [1; 9]:

Шаг 1: Найдите производную функции.

Функция y = x + 4/x^(1/2). Для нахождения производной используем правило дифференцирования:

• Производная от x равна 1.
• Производная от 4/x^(1/2) равна -2/x^(3/2) (используем правило производной степени).

Таким образом, производная будет:

y' = 1 - 2/x^(3/2).

Шаг 2: Найдите критические точки, приравняв производную к нулю.

1 - 2/x^(3/2) = 0.

Решаем уравнение:

• 2/x^(3/2) = 1
• x^(3/2) = 2
• x = (2)^(2/3) = 2^(2/3) (примерно 1.587).

Шаг 3: Проверяем значения функции на границах отрезка и в критической точке.

• y(1) = 1 + 4/1 = 5.
• y(9) = 9 + 4/3 = 9 + 1.333 = 10.333.
• y(2^(2/3)) = 2^(2/3) + 4/(2^(1/3)) = 2^(2/3) + 4*2^(-1/3) = 2^(2/3) + 2^(2/3) = 2*(2^(2/3)) = 2^(5/3) (примерно 6.349).

Шаг 4: Сравните значения:

• y(1) = 5
• y(9) = 10.333
• y(2^(2/3)) ≈ 6.349

Наибольшее значение функции на отрезке [1; 9] - 10.333, наименьшее - 5.

2. Функция y = sin^2 x - cos^2 x на отрезке [0; pi]:

Шаг 1: Используем тригонометрические идентичности.

y = sin^2 x - cos^2 x = 2sin^2 x - 1 (по формуле двойного угла).

Шаг 2: Найдите производную функции.

y' = 2sin x * cos x = sin(2x).

Шаг 3: Найдите критические точки, приравняв производную к нулю.

sin(2x) = 0.

2x = nπ, где n - целое число.

Следовательно, x = nπ/2. На отрезке [0; pi] это дает:

• x = 0 (n=0)
• x = π/2 (n=1)
• x = π (n=2)

Шаг 4: Проверяем значения функции на границах отрезка и в критических точках.

• y(0) = sin^2(0) - cos^2(0) = 0 - 1 = -1.
• y(π/2) = sin^2(π/2) - cos^2(π/2) = 1 - 0 = 1.
• y(π) = sin^2(π) - cos^2(π) = 0 - 1 = -1.

Шаг 5: Сравните значения:

• y(0) = -1
• y(π/2) = 1
• y(π) = -1

Наибольшее значение функции на отрезке [0; pi] - 1, наименьшее - -1.

Таким образом, мы нашли наибольшие и наименьшие значения для обеих функций на заданных отрезках.