При каких значениях a функция y = acosx + sinx – asinx будет четной?

В ПОДРОБНОСТЯХ!

Алгебра 11 класс Четные и нечетные функции алгебра 11 класс чётная функция значения a функция y acosx sinx asinx условия четности математический анализ тригонометрические функции Новый

Чтобы определить, при каких значениях параметра a функция y = a*cos(x) + sin(x) - a*sin(x) будет четной, нужно вспомнить определение четной функции. Функция f(x) называется четной, если для любого x выполняется равенство:

f(-x) = f(x)

Давайте начнем с того, что подставим -x в нашу функцию:

f(-x) = a*cos(-x) + sin(-x) - a*sin(-x)

Теперь воспользуемся свойствами тригонометрических функций:

• cos(-x) = cos(x)
• sin(-x) = -sin(x)

Подставим эти свойства в выражение для f(-x):

f(-x) = a*cos(x) + (-sin(x)) - a*(-sin(x))

Упростим это выражение:

f(-x) = a*cos(x) - sin(x) + a*sin(x)

Теперь объединим подобные слагаемые:

f(-x) = a*cos(x) + (a - 1)*sin(x)

Теперь мы имеем два выражения:

f(x) = a*cos(x) + sin(x) - a*sin(x) = a*cos(x) + (1 - a)*sin(x)

Теперь приравняем f(-x) и f(x):

a*cos(x) + (a - 1)*sin(x) = a*cos(x) + (1 - a)*sin(x)

Сравнив обе стороны уравнения, мы видим, что выражения для cos(x) одинаковы и их можно исключить. Останется лишь сравнить коэффициенты перед sin(x):

(a - 1) = (1 - a)

Теперь решим это уравнение:

1. Переносим все слагаемые в одну сторону:
2. (a - 1) + (1 - a) = 0
3. Это упростится до: 0 = 0, что верно для любого a.

Однако, чтобы функция была четной, необходимо, чтобы оба коэффициента перед sin(x) были равны нулю. Поэтому:

a - 1 = 0

Решая это уравнение, получаем:

a = 1

Таким образом, функция y = a*cos(x) + sin(x) - a*sin(x) будет четной, если a = 1.