При каких значениях а уравнение √(х-1)=х+а имеет два корня?

Алгебра 11 класс Уравнения с параметрами уравнение корни алгебра значения а квадратный корень математический анализ 11 класс решение уравнений Новый

Для того чтобы определить, при каких значениях параметра a уравнение √(x-1) = x + a имеет два корня, давайте сначала разберемся с условиями, при которых это уравнение имеет решения.

1. **Определение области допустимых значений**: Условие под корнем должно быть неотрицательным, то есть x - 1 ≥ 0. Это значит, что x ≥ 1.

2. **Перепишем уравнение**: Для удобства, возведем обе стороны уравнения в квадрат:

• √(x - 1) = x + a
• (√(x - 1))^2 = (x + a)^2
• x - 1 = (x + a)^2

3. **Раскроем скобки**:

• x - 1 = x^2 + 2ax + a^2

4. **Переносим все в одну сторону**:

• 0 = x^2 + (2a - 1)x + (a^2 + 1)

Теперь у нас есть квадратное уравнение:

• x^2 + (2a - 1)x + (a^2 + 1) = 0

5. **Условия для наличия двух корней**: Чтобы это уравнение имело два различных корня, необходимо, чтобы его дискриминант был больше нуля. Дискриминант D для квадратного уравнения Ax^2 + Bx + C равен:

• D = B^2 - 4AC

В нашем случае:

• A = 1
• B = 2a - 1
• C = a^2 + 1

6. **Находим дискриминант**:

• D = (2a - 1)^2 - 4 * 1 * (a^2 + 1)

7. **Упрощаем дискриминант**:

• D = (4a^2 - 4a + 1) - (4a^2 + 4)
• D = -4a + 1 - 4
• D = -4a - 3

8. **Условие для D > 0**:

• -4a - 3 > 0
• -4a > 3
• a < -3/4

Таким образом, уравнение √(x-1) = x + a имеет два корня, если a < -3/4.