При каких значениях параметра a уравнение 0,5x^2 - 2x - 5a + 1 = 0 имеет положительные корни? С графиком и подробным решением.

Алгебра 11 класс Уравнения с параметрами уравнение с параметром a положительные корни график решения алгебра 11 класс квадратное уравнение Новый

Для того чтобы уравнение 0,5x^2 - 2x - 5a + 1 = 0 имело положительные корни, необходимо выполнить несколько шагов. Давайте разберем их подробно.

Шаг 1: Приведение уравнения к стандартному виду

Сначала упростим уравнение, умножив его на 2, чтобы избавиться от дроби:

2 * (0,5x^2 - 2x - 5a + 1) = 0

Это дает нам уравнение:

x^2 - 4x - 10a + 2 = 0

Шаг 2: Определение условий для положительных корней

Уравнение квадратное и имеет вид:

Ax^2 + Bx + C = 0,

где A = 1, B = -4, C = -10a + 2.

Для того чтобы у уравнения были положительные корни, необходимо выполнить два условия:

• Дискриминант D должен быть больше нуля.
• Сумма корней должна быть положительной.

Шаг 3: Вычисление дискриминанта

Дискриминант D вычисляется по формуле:

D = B^2 - 4AC.

Подставляем значения A, B и C:

D = (-4)^2 - 4 * 1 * (-10a + 2) = 16 + 40a - 8 = 40a + 8.

Для того чтобы D > 0, получаем неравенство:

40a + 8 > 0.

Решим это неравенство:

40a > -8

a > -0,2.

Шаг 4: Условия для положительных корней

Теперь рассмотрим сумму корней. Сумма корней для квадратного уравнения равна -B/A:

Сумма корней = -(-4)/1 = 4.

Сумма корней всегда положительна, так как равна 4. Следовательно, это условие выполняется.

Шаг 5: Условия для произведения корней

Произведение корней равно C/A:

Произведение корней = (-10a + 2)/1 = -10a + 2.

Для того чтобы оба корня были положительными, необходимо, чтобы произведение корней было положительным:

-10a + 2 > 0.

Решим это неравенство:

-10a > -2

a < 0,2.

Шаг 6: Объединение условий

Теперь мы имеем два условия:

• a > -0,2
• a < 0,2

Таким образом, значение параметра a должно находиться в интервале:

-0,2 < a < 0,2.

Вывод

Уравнение 0,5x^2 - 2x - 5a + 1 = 0 имеет положительные корни при значениях параметра a в интервале (-0,2; 0,2).

График

Для визуализации можно построить график функции y = 0,5x^2 - 2x - 5a + 1 и посмотреть, как меняется количество положительных корней в зависимости от a. Однако, учитывая, что мы уже нашли необходимые условия, график будет служить лишь дополнительным подтверждением.