Привет, мне нужна помощь с домашней работой. Как определить точку минимума функции y=(x-1)^2*(x-4)+5?

Алгебра 11 класс Оптимизация функций точка минимума функция алгебра y=(x-1)^2*(x-4)+5 помощь с домашней работой Новый

Привет! Давай разберем, как найти точку минимума функции y = (x - 1)² * (x - 4) + 5. Мы будем использовать методы анализа функции, такие как нахождение производной и определение критических точек.

Шаг 1: Найдем производную функции

Сначала найдем первую производную функции y по x. Это поможет нам определить, где функция достигает минимума или максимума.

Функция y = (x - 1)² * (x - 4) + 5. Применим правило произведения для нахождения производной:

• Обозначим u = (x - 1)² и v = (x - 4).
• Тогда y = u * v + 5.
• Производная y' = u' * v + u * v'.

Сначала найдем производные u и v:

• u' = 2(x - 1),
• v' = 1.

Теперь подставим в формулу производной:

y' = 2(x - 1)(x - 4) + (x - 1)² * 1.

Шаг 2: Упростим производную

Теперь упростим выражение для производной:

y' = 2(x - 1)(x - 4) + (x - 1)².

Раскроем скобки:

• 2(x - 1)(x - 4) = 2(x² - 5x + 4) = 2x² - 10x + 8,
• (x - 1)² = x² - 2x + 1.

Теперь сложим оба выражения:

y' = (2x² - 10x + 8) + (x² - 2x + 1) = 3x² - 12x + 9.

Шаг 3: Найдем критические точки

Чтобы найти критические точки, приравняем производную к нулю:

3x² - 12x + 9 = 0.

Разделим уравнение на 3:

x² - 4x + 3 = 0.

Теперь решим это квадратное уравнение, используя формулу корней:

x = (-b ± √(b² - 4ac)) / 2a, где a = 1, b = -4, c = 3.

Находим дискриминант:

D = (-4)² - 4 * 1 * 3 = 16 - 12 = 4.

Теперь подставим в формулу:

• x₁ = (4 + √4) / 2 = (4 + 2) / 2 = 3,
• x₂ = (4 - √4) / 2 = (4 - 2) / 2 = 1.

Шаг 4: Определим, где минимум

Теперь у нас есть две критические точки: x = 1 и x = 3. Чтобы определить, где находится минимум, используем второй производный тест:

Найдем вторую производную:

y'' = 6x - 12.

Теперь подставим критические точки:

• y''(1) = 6(1) - 12 = -6 (максимум),
• y''(3) = 6(3) - 12 = 6 (минимум).

Шаг 5: Найдем значение функции в точке минимума

Теперь мы знаем, что минимум функции находится в точке x = 3. Подставим это значение в исходную функцию, чтобы найти значение y:

y(3) = (3 - 1)² * (3 - 4) + 5 = 2² * (-1) + 5 = -4 + 5 = 1.

Ответ:

Точка минимума функции y = (x - 1)² * (x - 4) + 5 находится в точке (3, 1).