Разложите выражение (1+√2)^5 по формуле бинома Ньютона и упростите его.

Алгебра 11 класс Бином Ньютона разложение выражения бинома Ньютона алгебра 11 класс (1+√2)^5 Упрощение выражения формула бинома математические выражения алгебраические операции степень бинома примеры бинома Ньютона Новый

Чтобы разложить выражение (1 + √2)^5 по формуле бинома Ньютона, начнем с самой формулы. Бином Ньютона утверждает, что (a + b)^n = Σ (C(n, k) * a^(n-k) * b^k), где C(n, k) - это биномиальный коэффициент, который можно вычислить по формуле C(n, k) = n! / (k! * (n-k)!).

В нашем случае a = 1, b = √2 и n = 5. Теперь мы можем записать разложение:

• C(5, 0) * (1)^5 * (√2)^0
• C(5, 1) * (1)^4 * (√2)^1
• C(5, 2) * (1)^3 * (√2)^2
• C(5, 3) * (1)^2 * (√2)^3
• C(5, 4) * (1)^1 * (√2)^4
• C(5, 5) * (1)^0 * (√2)^5

Теперь подставим значения биномиальных коэффициентов:

• C(5, 0) = 1
• C(5, 1) = 5
• C(5, 2) = 10
• C(5, 3) = 10
• C(5, 4) = 5
• C(5, 5) = 1

Таким образом, разложение будет следующим:

• 1 * (1)^5 * (√2)^0 = 1
• 5 * (1)^4 * (√2)^1 = 5√2
• 10 * (1)^3 * (√2)^2 = 10 * 2 = 20
• 10 * (1)^2 * (√2)^3 = 10 * 2√2 = 20√2
• 5 * (1)^1 * (√2)^4 = 5 * 4 = 20
• 1 * (1)^0 * (√2)^5 = √2^5 = 2√2

Теперь соберем все эти слагаемые:

• 1 + 5√2 + 20 + 20√2 + 20 + 2√2

Теперь упростим выражение, объединив подобные слагаемые:

• 1 + 20 + 20 = 41
• 5√2 + 20√2 + 2√2 = 27√2

Таким образом, окончательный результат разложения и упрощения выражения (1 + √2)^5 выглядит так:

(1 + √2)^5 = 41 + 27√2