В разложении бинома Ньютона (1 + х)^n третий биномиальный коэффициент равен 28. Как можно найти степень бинома n?

Алгебра 11 класс Бином Ньютона бином Ньютона третий биномиальный коэффициент степень бинома алгебра 11 класс задача по алгебре Новый

Чтобы найти степень бинома n, когда третий биномиальный коэффициент равен 28, воспользуемся формулой биномиальных коэффициентов. Третий биномиальный коэффициент в разложении (1 + x)^n обозначается как C(n, 2), где C(n, k) - это биномиальный коэффициент, равный количеству способов выбрать k элементов из n.

Формула биномиального коэффициента выглядит так:

C(n, k) = n! / (k! * (n - k)!)

В нашем случае:

• k = 2 (так как мы ищем третий коэффициент, а индексация начинается с нуля),
• C(n, 2) = 28.

Теперь подставим значения в формулу:

C(n, 2) = n! / (2! * (n - 2)!) = 28

Упрощаем выражение:

n! / (2 * (n - 2)!) = 28

Сократим n! и (n - 2)!:

n * (n - 1) / 2 = 28

Теперь умножим обе стороны на 2, чтобы избавиться от дроби:

n * (n - 1) = 56

Теперь раскроем скобки:

n^2 - n - 56 = 0

Теперь мы можем решить это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 * 1 * (-56) = 1 + 224 = 225

Теперь найдем корни уравнения:

n = (-b ± √D) / (2a) = (1 ± √225) / 2

Корень из 225 равен 15, следовательно:

• n1 = (1 + 15) / 2 = 16 / 2 = 8
• n2 = (1 - 15) / 2 = -14 / 2 = -7

Поскольку n должно быть неотрицательным целым числом, принимаем только положительное значение:

n = 8

Таким образом, степень бинома n равна 8.