Ребята, можете помочь с решением неопределенного интеграла x * e^(-x/2) dx? Буду очень благодарна! И еще один интеграл: от sin^3(x) dx.

Алгебра 11 класс Неопределённые интегралы неопределенный интеграл интеграл x * e^(-x/2) интеграл sin^3(x) решение интегралов алгебра 11 класс Новый

Давайте разберем оба интеграла по очереди.

1. Интеграл x * e^(-x/2) dx

Для решения этого интеграла мы будем использовать метод интегрирования по частям. Формула интегрирования по частям выглядит следующим образом:

∫u dv = uv - ∫v du

Теперь выберем u и dv:

• u = x (тогда du = dx)
• dv = e^(-x/2) dx (тогда v = ∫e^(-x/2) dx)

Чтобы найти v, вычислим интеграл dv:

∫e^(-x/2) dx = -2 * e^(-x/2) + C (где C – произвольная константа).

Теперь подставим u, du и v в формулу интегрирования по частям:

∫x * e^(-x/2) dx = x * (-2 * e^(-x/2)) - ∫(-2 * e^(-x/2)) dx

Упрощаем это:

∫x * e^(-x/2) dx = -2x * e^(-x/2) + 2∫e^(-x/2) dx

Мы уже нашли ∫e^(-x/2) dx, подставим его обратно:

∫x * e^(-x/2) dx = -2x * e^(-x/2) - 4 * e^(-x/2) + C

Таким образом, окончательный ответ:

∫x * e^(-x/2) dx = -2e^(-x/2) (x + 2) + C

2. Интеграл sin^3(x) dx

Для решения этого интеграла мы можем использовать тригонометрическую идентичность и подстановку:

sin^3(x) можно выразить как sin(x) * (1 - cos^2(x)). Таким образом:

sin^3(x) = sin(x) - sin(x) * cos^2(x)

Теперь мы можем разделить интеграл на два:

∫sin^3(x) dx = ∫sin(x) dx - ∫sin(x) * cos^2(x) dx

Первый интеграл легко решается:

∫sin(x) dx = -cos(x) + C1

Теперь решим второй интеграл ∫sin(x) * cos^2(x) dx. Для этого воспользуемся подстановкой:

• Пусть u = cos(x), тогда du = -sin(x) dx.

Тогда интеграл становится:

∫sin(x) * cos^2(x) dx = -∫u^2 du = -u^3/3 + C2 = -cos^3(x)/3 + C2

Теперь объединим результаты:

∫sin^3(x) dx = -cos(x) + (cos^3(x)/3) + C

Таким образом, окончательный ответ:

∫sin^3(x) dx = -cos(x) + (1/3)cos^3(x) + C

Надеюсь, это поможет вам разобраться с интегралами! Если есть дополнительные вопросы, не стесняйтесь спрашивать.