Для решения уравнения 15x^3 - 24x^2 + 12x - 2 = 0 мы можем воспользоваться методом подбора корней и далее применить деление многочленов.

Шаг 1: Поиск рациональных корней

Согласно теореме о рациональных корнях, возможные рациональные корни уравнения могут быть найдены среди делителей свободного члена (в данном случае -2) и делителей старшего коэффициента (в данном случае 15).

Делители -2: ±1, ±2

Делители 15: ±1, ±3, ±5, ±15

Таким образом, возможные рациональные корни: ±1, ±2, ±1/3, ±5, ±2/3, ±15, ±10, ±1/5.

Шаг 2: Проверка возможных корней

Начнем с проверки корня x = 1:

Подставляем x = 1 в уравнение:

15(1)^3 - 24(1)^2 + 12(1) - 2 = 15 - 24 + 12 - 2 = 1 ≠ 0

Теперь проверим x = 2:

15(2)^3 - 24(2)^2 + 12(2) - 2 = 15(8) - 24(4) + 12(2) - 2 = 120 - 96 + 24 - 2 = 46 ≠ 0

Теперь проверим x = 1/3:

15(1/3)^3 - 24(1/3)^2 + 12(1/3) - 2 = 15(1/27) - 24(1/9) + 12(1/3) - 2 = 15/27 - 24/9 + 12/3 - 2

Упрощаем:

15/27 = 5/9, 24/9 = 8/3, 12/3 = 4

Подставляем:

5/9 - 8/3 + 4 - 2 = 5/9 - 24/9 + 36/9 - 18/9 = (5 - 24 + 36 - 18)/9 = -1/9 ≠ 0

Теперь проверим x = 1/5:

15(1/5)^3 - 24(1/5)^2 + 12(1/5) - 2 = 15(1/125) - 24(1/25) + 12(1/5) - 2 = 15/125 - 24/25 + 12/5 - 2

Упрощаем:

15/125 = 3/25, 24/25 = 24/25, 12/5 = 60/25, 2 = 50/25

Подставляем:

3/25 - 24/25 + 60/25 - 50/25 = (3 - 24 + 60 - 50)/25 = -11/25 ≠ 0

Теперь проверим x = 2/3:

15(2/3)^3 - 24(2/3)^2 + 12(2/3) - 2 = 15(8/27) - 24(4/9) + 12(2/3) - 2 = 120/27 - 96/27 + 72/27 - 54/27 = 0

Таким образом, x = 2/3 является корнем уравнения.

Шаг 3: Деление многочлена

Теперь, когда мы нашли один корень, мы можем разделить наш многочлен на (x - 2/3) с помощью деления многочленов.

При делении 15x^3 - 24x^2 + 12x - 2 на (x - 2/3) мы получаем:

15x^3 - 24x^2 + 12x - 2 = (x - 2/3)(15x^2 - 6x + 3)

Шаг 4: Решение квадратного уравнения

Теперь нам нужно решить квадратное уравнение 15x^2 - 6x + 3 = 0. Мы можем использовать дискриминант:

D = b^2 - 4ac = (-6)^2 - 4 * 15 * 3 = 36 - 180 = -144

Так как дискриминант отрицательный, у этого квадратного уравнения нет действительных корней.

Итог:

Таким образом, у уравнения 15x^3 - 24x^2 + 12x - 2 = 0 есть только один действительный корень:

x = 2/3