Рассмотрим уравнение arccos(sin x) = x/2. Чтобы решить его, мы можем воспользоваться свойствами тригонометрических функций и арккосинуса.

Сначала заметим, что sin x = cos(pi/2 - x). Это позволяет нам переписать уравнение следующим образом:

1. arccos(sin x) = arccos(cos(pi/2 - x))

Теперь, по свойствам арккосинуса, мы можем приравнять аргументы:

1. pi/2 - x = x/2

Решим это уравнение:

1. Переносим x в правую сторону:
2. pi/2 = x + x/2
3. Приведем подобные: pi/2 = 3x/2
4. Умножим обе стороны на 2: pi = 3x
5. Следовательно, x = pi/3.

Теперь рассмотрим другой случай. Если arccos(cos(theta)) = theta, то это выполняется на интервале, когда theta находится в пределах от 0 до pi. Однако мы можем добавить и дополнительные решения, учитывая периодичность функций:

1. pi/2 - x = x/2 - 2pi
2. Решаем: pi/2 = x/2 + 2pi
3. Приводим к общему знаменателю: pi/2 - 2pi = x/2
4. Умножаем на 2: pi - 4pi = x
5. Это дает: x = 5pi/3.

Теперь рассмотрим третий случай:

1. pi/2 - x = -x/2
2. Решаем: pi/2 = -x/2 + x
3. Это приводит к pi/2 = x/2.
4. Умножаем на 2: pi = x, то есть x = pi.

Итак, мы нашли три корня уравнения:

• x₁ = pi/3
• x₂ = 5pi/3
• x₃ = pi

Теперь вычислим сумму всех корней:

Теперь нам нужно выразить это значение в виде S/pi:

Таким образом, ответом будет: 3.