Для решения неравенства log_{0.5}(x^2 - 3x) ≥ log_{0.5}(2x - 4) сначала вспомним, что логарифм с основанием меньше 1 является убывающей функцией. Это означает, что неравенство log_{0.5}(A) ≥ log_{0.5}(B) эквивалентно неравенству A ≤ B. Таким образом, мы можем переписать наше неравенство как:

x^2 - 3x ≤ 2x - 4

Теперь приведем все слагаемые к одной стороне:

x^2 - 3x - 2x + 4 ≤ 0

Упрощаем:

x^2 - 5x + 4 ≤ 0

Теперь решим квадратное неравенство. Для этого найдем корни соответствующего квадратного уравнения:

x^2 - 5x + 4 = 0

Используя формулу для нахождения корней квадратного уравнения x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / 2a, где a = 1, b = -5, c = 4, находим:

• Дискриминант: D = (-5)^2 - 4 * 1 * 4 = 25 - 16 = 9
• Корни: x₁ = (5 + √9) / 2 = (5 + 3) / 2 = 4
• Корни: x₂ = (5 - √9) / 2 = (5 - 3) / 2 = 1

Таким образом, корни уравнения: x₁ = 4 и x₂ = 1. Теперь можно записать неравенство в виде:

(x - 1)(x - 4) ≤ 0

Решим это неравенство. Оно будет истинно на интервале между корнями, включая сами корни. Таким образом, мы получаем:

1 ≤ x ≤ 4

Теперь необходимо учесть область определения логарифмической функции. Логарифм определен только для положительных аргументов:

• x^2 - 3x > 0
• 2x - 4 > 0

Решим первое неравенство:

x(x - 3) > 0

Корни: x = 0 и x = 3. Это неравенство выполняется на интервалах:

• x < 0
• x > 3

Теперь решим второе неравенство:

2x - 4 > 0

Решаем:

2x > 4 → x > 2

Теперь объединяем все условия:

• Из неравенства 1 ≤ x ≤ 4
• Из области определения x > 3

Таким образом, пересечение этих условий дает нам:

3 ≤ x ≤ 4

Итак, окончательный ответ:

x ∈ [3, 4]